TY - JOUR AU - Tao, Youshan AU - Winkler, Michael ID - 37354 JF - Journal of Differential Equations TI - Global classical solutions to a doubly haptotactic cross-diffusion system modeling oncolytic virotherapy. VL - 268 ER - TY - JOUR AU - Tao, Youshan AU - Winkler, Michael ID - 37351 JF - Nonlinear Analysis TI - A critical virus production rate for blow-up suppression in a haptotaxis model for oncolytic virotherapy. VL - 198 ER - TY - JOUR AU - Stinner, Christian AU - Winkler, Michael ID - 37349 JF - Discrete and Continuous Dynamical Systems --A TI - Refined regularity and stabilization properties in a degenerate haptotaxis system VL - 40 ER - TY - CHAP AU - Biehler, Rolf AU - Liebendörfer, Michael AU - Schmitz, Angela AU - Fleischmann, Yael AU - Krämer, Sandra AU - Ostsieker, Laura AU - Schlüter, Sarah ED - Siller, H.-S. ED - Weigel, W. ED - Wörler, J. F. ID - 35820 T2 - Beiträge zum Mathematikunterricht 2020 TI - studiVEMINTvideos – Mathematische Lernvideos zur Studienvorbereitung und Unterstützung im ersten Studienjahr ER - TY - JOUR AU - Rösler, Margit ID - 37660 IS - 12 JF - Journal of Functional Analysis KW - Analysis SN - 0022-1236 TI - Riesz distributions and Laplace transform in the Dunkl setting of type A VL - 278 ER - TY - JOUR AU - Luks, Tomasz AU - Xiao, Yimin ID - 40051 IS - 1 JF - Journal of Theoretical Probability SN - 0894-9840 TI - Multiple Points of Operator Semistable Lévy Processes VL - 33 ER - TY - JOUR AU - Steiner, Evi AU - Winkler, Michael ID - 37339 JF - Journal of Nonlinear Science TI - Mathematical Analysis of Two Competing Cancer Cell Migration Mechanisms Driven by Interstitial Fluid Flow VL - 30 ER - TY - JOUR AB - Let D<0 be a fundamental discriminant and denote by E(D) the exponent of the ideal class group Cl(D) of K=ℚ(√D). Under the assumption that no Siegel zeros exist we compute all such D with E(D) dividing 8. We compute all D with |D| ≤ 3.1⋅10²⁰ such that E(D) ≤ 8. AU - Elsenhans, Andreas-Stephan AU - Klüners, Jürgen AU - Nicolae, Florin ID - 34842 IS - 3 JF - Acta Arithmetica KW - Algebra and Number Theory SN - 0065-1036 TI - Imaginary quadratic number fields with class groups of small exponent VL - 193 ER - TY - JOUR AB - We give an exact formula for the number of G-extensions of local function fields Fq((t)) for finite abelian groups G up to a conductor bound. As an application we give a lower bound for the corresponding counting problem by discriminant. AU - Klüners, Jürgen AU - Müller, Raphael ID - 34841 JF - Journal of Number Theory KW - Algebra and Number Theory SN - 0022-314X TI - The conductor density of local function fields with abelian Galois group VL - 212 ER - TY - JOUR AB - In this paper, we study properties of the algebras of planar quasi-invariants. These algebras are Cohen–Macaulay and Gorenstein in codimension one. Using the technique of matrix problems, we classify all Cohen–Macaulay modules of rank one over them and determine their Picard groups. In terms of this classification, we describe the spectral modules of the planar rational Calogero–Moser systems. Finally, we elaborate the theory of the algebraic inverse scattering method, providing explicit computations of some ‘isospectral deformations’ of the planar rational Calogero–Moser system in the case of the split rational potential. AU - Burban, Igor AU - Zheglov, A. ID - 44331 IS - 4 JF - Proceedings of the London Mathematical Society TI - Cohen-Macaulay modules over the algebra of planar quasi-invariants and Calogero-Moser systems VL - 121 ER - TY - CHAP AU - Dröse, Jennifer AU - Prediger, Susanne ED - Prediger, Susanne ID - 45385 T2 - Sprachbildender Mathematikunterricht in der Sekundarstufe - ein forschungsbasiertes Praxisbuch TI - Lesen lernen von Aufgabentexten ER - TY - CHAP AU - Bruns, Julia AU - Vogtländer, A. ED - Born-Rauchecker, E. ED - Vogtländer, A. ED - Weber, K. ID - 45688 T2 - Frühe alltagsintegrierte mathematische Bildung. Handreichung für Lehrende TI - Frühe alltagsintegrierte mathematische Bildung. Eine Einleitung ER - TY - JOUR AB - ZusammenfassungFrühe mathematische Bildung findet in der Kindertagesstätte insbesondere in spontanen Alltagssituationen statt. Damit diese Alltagssituationen zu natürlichen Lernsituationen für die Kinder werden, müssen (angehende) frühpädagogische Fachkräfte zunächst das mathematische Potenzial in diesen Situationen erkennen. Diese Fähigkeit zur situativen Beobachtung und Wahrnehmung ist bisher unzureichend erforscht, was unter anderem auf begrenzte Methoden zur standardisierten Erfassung dieses Konstrukts zurückzuführen ist. Um diesem Bedarf zu begegnen, wurde das videobasierte Testinstrument Vimas_num zur Erfassung der Fähigkeit zur situativen Beobachtung und Wahrnehmung angehender frühpädagogischer Fachpersonen im Bereich Mengen und Zahlen entwickelt. Auf der Grundlage von drei aufeinander aufbauenden Studien wird die Validität verschiedener Aspekte der Testwertinterpretation untersucht. Die Ergebnisse geben Hinweise auf die Validität der Testwertinterpretation in Bezug auf den Testinhalt, die interne Struktur des Tests und die Zusammenhänge mit theoretisch verbundenen Konstrukten. AU - Bruns, Julia AU - Strahl, Carolin AU - Gasteiger, Hedwig ID - 34816 IS - 3 JF - Unterrichtswissenschaft KW - Education SN - 0340-4099 TI - Situative Beobachtung und Wahrnehmung angehender frühpädagogischer Fachpersonen im Bereich Mathematik – Entwicklung und Validierung eines Testinstruments VL - 49 ER - TY - CONF AU - Meyer, Lena AU - Tabeling, Laura AU - Gasteiger, Hedwig AU - Bruns, Julia ED - Siller, Hans-Stefan ED - Weigel, Wolfgang ED - Wörler, Jan ID - 36546 T2 - Beiträge zum Mathematikunterricht 2020 TI - Interaktionen in mathematischen Spielsituationen in Kindertagesstätte und Familie ER - TY - JOUR AB - ZusammenfassungDie Implementation früher mathematischer Bildung in Kindertagesstätten kann durch fachdidaktische Fortbildungen für frühpädagogische Fachkräfte unterstützt werden. Um Fachkräfte in der Breite zu erreichen, erscheint ein scaling up Ansatz geeignet, bei dem aufbauend auf das Fortbildungskonzept EmMa – Erzieherinnen und Erzieher machen Mathematik Multiplikatorinnen und Multiplikatoren qualifiziert werden. Dabei ergibt sich die Herausforderung, dass Fortbildende im Elementarbereich kaum mathematisches und mathematikdidaktisches Wissen mitbringen. Der Kontext dieser Studie ist der scaling up Prozess der Fortbildung EmMa unter diesen Umständen. Das Erkenntnisinteresse liegt in der Beschreibung und Bewertung der Adaptionshandlungen der Multiplikatorinnen und Multiplikatoren. Für die Bewertung der Adaptionen werden zwei Kriterien herangezogen: (1) das Kriterium der Präzision, das die Vollständigkeit und Klarheit der Inhalte umfasst und (2) das Kriterium der fachlichen Korrektheit, das durch das Ausbleiben fachbezogener Fehler beschrieben wird. Analysiert werden dabei die theoretischen, fachbezogenen Phasen der von Multiplikatorinnen und Multiplikatoren durchgeführten Fortbildung zur frühen mathematischen Bildung, da davon ausgegangen wird, dass insbesondere diese theoretischen Inhalte für diese Gruppe von Multiplikatorinnen und Multiplikatoren eine Herausforderung darstellen. Zur Untersuchung wurde eine videogestützte, qualitative Feldstudie mit N = 8 Fällen durchgeführt. Mit Hilfe der qualitativen Inhaltsanalyse wurden die Adaptionshandlungen der Multiplikatorinnen und Multiplikatoren charakterisiert und hinsichtlich ihrer Präzision und der fachlichen Fehler in diesen Adaptionen analysiert. Dabei zeigte sich, dass der eigenständige Umgang mit den mathematischen und mathematikdidaktischen Inhalten des Fortbildungskonzepts EmMa trotz intensiver Unterstützung anspruchsvoll und bei vielen Multiplikatorinnen und Multiplikatoren mit fachbezogenen Fehlern verbunden ist. Implikationen dieser Ergebnisse für die weitere Forschung werden diskutiert. AU - Bruns, Julia AU - Schopferer, Theresa AU - Gasteiger, Hedwig ID - 21529 IS - 1 JF - Journal für Mathematik-Didaktik SN - 0173-5322 TI - Adaptionshandlungen von Multiplikatorinnen und Multiplikatoren zur frühen mathematischen Bildung – Beschreibung und Bewertung aus fachbezogener Perspektive VL - 42 ER - TY - CHAP AU - Bruns, Julia AU - Carlsen, Martin AU - Eichen, Lars AU - Erfjord, Ingvald AU - Hundeland, Per Sigurd ID - 21530 SN - 9783030347758 T2 - Mathematics Education in the Early Years TI - Situational Perception in Mathematics (SPiM)—Results of a Cross-Country Study in Austria and Norway ER - TY - CONF AU - Bruns, Julia ED - Siller, Hans-Stefan ED - Weigel, Wolfgang ED - Wörler, Jan ID - 36539 T2 - Beiträge zum Mathematikunterricht 2020 TI - Mathematisches Fachwissen von frühpädagogischen Fachpersonen im Spannungsfeld zwischen Disziplin- und Praxis ER - TY - CONF AU - Schönherr, Johanna AU - Blomberg, J. AU - Schukajlow, S. AU - Rellensmann, J. ED - Inprasitha, M. ED - Changsri, N. ED - Boonsena, N. ID - 45330 T2 - Proceedings of the 44th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education: PME TI - “Why don’t you make a drawing?" Motivation and strategy use in mathematical modelling ER - TY - JOUR AU - Schönherr, Johanna AU - Schukajlow, S. AU - Leopold, C. ID - 45338 IS - 1 JF - ZDM – Mathematics Education TI - Measuring and investigating strategic knowledge about drawing to solve geometry modelling problems VL - 52 ER - TY - JOUR AU - Black, Tobias ID - 34670 IS - 06 JF - Mathematical Models and Methods in Applied Sciences KW - Applied Mathematics KW - Modeling and Simulation SN - 0218-2025 TI - Global generalized solutions to a forager–exploiter model with superlinear degradation and their eventual regularity properties VL - 30 ER - TY - JOUR AU - Hoffmann, Max ID - 31376 JF - Der Mathematikunterricht TI - Zirkel und Lineal ohne Parallelenaxiom: Ein konstruktiver Zugang zur hyperbolischen Geometrie. VL - 66 (6) ER - TY - JOUR AU - Leuders, Timo AU - Wessel, Lena ID - 46159 IS - 2 JF - Pädagogik 2/2020 SN - 0933-422X TI - Differenziertes Üben gestalten. Zwischen Umsetzung in der Praxis und Fundierung in der Forschung. ER - TY - JOUR AU - Wessel, Lena AU - Kuzu, T. AU - Prediger, Susanne ID - 46158 JF - Sprachbildender Mathematikunterricht in der Sekundarstufe - ein forschungsbasiertes Praxisbuch TI - Sprachbildender Vorstellungsaufbau für verschiedene mathematische Konzepte: Brüche in Klasse 6 ER - TY - BOOK AU - Wessel, Lena AU - Prediger, S. AU - Stein, A. AU - Wijers, M. AU - Jonker, V. ID - 48406 TI - Language for Mathematics in Vocational Contexts. Handbook for teachers and facilitators ER - TY - CHAP AU - Sprütten, F. AU - Wessel, Lena AU - Zentgraf, K. AU - Prediger, S. ED - Prediger, S. ID - 48405 T2 - Sprachbildender Mathematikunterricht in der Sekundarstufe. Ein forschungsbasiertes Praxisbuch TI - Fach- und sprachintegrierte Ansätze für Neuzugewanderte ER - TY - JOUR AU - Dröse, Jennifer AU - Prediger, Susanne ID - 45383 JF - Journal für Mathematik-Didaktik, 41(2) TI - Enhancing Fifth Graders’ Awareness of Syntactic Features in Mathematical Word Problems: A Design Research Study on the Variation Principle ER - TY - CHAP AU - Flaßkamp, K. AU - Ober-Blöbaum, Sina AU - Peitz, S. ED - Junge, Oliver ED - Schütze, Oliver ED - Froyland, Gary ED - Ober-Blöbaum, Sina ED - Padberg-Gehle, Kathrin ID - 29413 T2 - Advances in Dynamics, Optimization and Computation TI - Symmetry in optimal control: A multiobjective model predictive control approach ER - TY - JOUR AU - Seitz, Susanne AU - Häsel-Weide, Uta AU - Wilke, Yannik AU - Wallner, Melina ID - 31553 IS - 2 JF - K:ON Kölner Online-Journal für Lehrer*innenbildung TI - Expertise von Lehrpersonen für inklusiven Mathematikunterricht der Sekundarstufe - Ausgangspunkte zur Professionalisierungsforschung. ER - TY - CONF AU - Dröse, Jennifer ED - Siller, H.-S. ED - Weigel, W. ED - Wöler, J. F. ID - 45384 T2 - Beiträge zum Mathematikunterricht 2020 TI - Verstehensgrundlagen diagnostizieren - Welche Wissenselemente fokussieren Lehrkräfte? ER - TY - CHAP AU - Dröse, Jennifer AU - Eisen, V. AU - Prediger, Susanne AU - Altieri, M. AU - Schellenbach, M. AU - Menning, R. ID - 45386 T2 - Mathematik lehren 223 TI - Textaufgaben lesen lernen – eine digital gestützte Einheit mit App ER - TY - CHAP AB - In this work we review the novel framework for the computation of finite dimensional invariant sets of infinite dimensional dynamical systems developed in [6] and [36]. By utilizing results on embedding techniques for infinite dimensional systems we extend a classical subdivision scheme [8] as well as a continuation algorithm [7] for the computation of attractors and invariant manifolds of finite dimensional systems to the infinite dimensional case. We show how to implement this approach for the analysis of delay differential equations and partial differential equations and illustrate the feasibility of our implementation by computing the attractor of the Mackey-Glass equation and the unstable manifold of the one-dimensional Kuramoto-Sivashinsky equation. AU - Gerlach, Raphael AU - Ziessler, Adrian ED - Junge, Oliver ED - Schütze, Oliver ED - Ober-Blöbaum, Sina ED - Padberg-Gehle, Kathrin ID - 17994 SN - 2198-4182 T2 - Advances in Dynamics, Optimization and Computation TI - The Approximation of Invariant Sets in Infinite Dimensional Dynamical Systems VL - 304 ER - TY - JOUR AB - We investigate self-adjoint matrices A∈Rn,n with respect to their equivariance properties. We show in particular that a matrix is self-adjoint if and only if it is equivariant with respect to the action of a group Γ2(A)⊂O(n) which is isomorphic to ⊗nk=1Z2. If the self-adjoint matrix possesses multiple eigenvalues – this may, for instance, be induced by symmetry properties of an underlying dynamical system – then A is even equivariant with respect to the action of a group Γ(A)≃∏ki=1O(mi) where m1,…,mk are the multiplicities of the eigenvalues λ1,…,λk of A. We discuss implications of this result for equivariant bifurcation problems, and we briefly address further applications for the Procrustes problem, graph symmetries and Taylor expansions. AU - Dellnitz, Michael AU - Gebken, Bennet AU - Gerlach, Raphael AU - Klus, Stefan ID - 16712 IS - 2 JF - Dynamical Systems SN - 1468-9367 TI - On the equivariance properties of self-adjoint matrices VL - 35 ER - TY - JOUR AU - Hilgert, Joachim AU - Barnum, H. ID - 51386 JF - J. of Lie Theory TI - Spectral Properties of Convex Bodies VL - 30 ER - TY - BOOK ED - Hilgert, Joachim ID - 51488 TI - Mathematik studieren -- Ein Ratgeber für Erstsemester und solche, die es vielleicht werden wollen ER - TY - GEN AU - Hilgert, Joachim AU - Brennecken, D. AU - Ciardo, L. ID - 51520 TI - Algebraically Independent Generators for the Algebra of Invariant Differential Operators on SLn(ℝ)/SOn(ℝ) ER - TY - GEN AU - Hilgert, Joachim ID - 51559 T2 - Mathematische Semesterberichte TI - Titu Andreescu und Vlad Crisan: Mathematical Induction – A powerful and elegant method of proof. XYZ Press 2017 und Florian André Dalwigk: Vollständige Induktion – Beispiele und Aufgaben bis zum Umfallen. Springer Spektrum 2019 VL - 67 ER - TY - GEN AU - Hilgert, Joachim ID - 51557 T2 - Mathematische Semesterberichte TI - Fabio Toscano: The Secret Formula – How a Mathematical Duel Inflamed Renaissance Italy and Uncovered the Cubic Equation. Princeton University Press 2020 VL - 67 ER - TY - GEN AU - Hilgert, Joachim ID - 51561 T2 - Mathematische Semesterberichte TI - Robert Bosch: OPT ART – From Mathematical Optimization to Visual Design. Princeton University Press 2019 VL - 67 ER - TY - GEN AU - Hilgert, Joachim ID - 51560 T2 - Mathematische Semesterberichte TI - David M. Bressoud: Calculus Reordered -- A History of the Big Ideas. Princeton University Press 2019 VL - 67 ER - TY - GEN AU - Hilgert, Joachim ID - 51564 T2 - Mathematische Semesterberichte TI - Daniel Grieser: Mathematisches Problemlösen und Beweisen – Eine Entdeckungsreise in die Mathematik. 2. Auflage (Springer 2017) VL - 67 ER - TY - GEN AU - Hilgert, Joachim ID - 51563 T2 - Mathematische Semesterberichte TI - Claas Lattmann: Mathematische Modellierung bai Platon zwischen Thales und Euklid (De Gruyter 2019) VL - 67 ER - TY - JOUR AB - Many PDEs (Burgers' equation, KdV, Camassa-Holm, Euler's fluid equations, …) can be formulated as infinite-dimensional Lie-Poisson systems. These are Hamiltonian systems on manifolds equipped with Poisson brackets. The Poisson structure is connected to conservation properties and other geometric features of solutions to the PDE and, therefore, of great interest for numerical integration. For the example of Burgers' equations and related PDEs we use Clebsch variables to lift the original system to a collective Hamiltonian system on a symplectic manifold whose structure is related to the original Lie-Poisson structure. On the collective Hamiltonian system a symplectic integrator can be applied. Our numerical examples show excellent conservation properties and indicate that the disadvantage of an increased phase-space dimension can be outweighed by the advantage of symplectic integration. AU - McLachlan, Robert I AU - Offen, Christian AU - Tapley, Benjamin K ID - 19945 IS - 1 JF - Journal of Computational Dynamics SN - 2158-2505 TI - Symplectic integration of PDEs using Clebsch variables VL - 6 ER - TY - JOUR AU - Nüske, Feliks AU - Boninsegna, Lorenzo AU - Clementi, Cecilia ID - 21944 JF - The Journal of Chemical Physics SN - 0021-9606 TI - Coarse-graining molecular systems by spectral matching ER - TY - CHAP AU - Kuklinski, Christiane AU - Leis, Elena AU - Liebendörfer, Michael AU - Hochmuth, Reinhard ID - 8577 T2 - Beiträge zum Mathematikunterricht 2019 TI - Erklärung von Mathematikleistung im Ingenieursstudium ER - TY - JOUR AU - Sahai, Tuhin AU - Ziessler, Adrian AU - Klus, Stefan AU - Dellnitz, Michael ID - 16709 JF - Nonlinear Dynamics SN - 0924-090X TI - Continuous relaxations for the traveling salesman problem ER - TY - JOUR AB - We present a new framework for optimal and feedback control of PDEs using Koopman operator-based reduced order models (K-ROMs). The Koopman operator is a linear but infinite-dimensional operator which describes the dynamics of observables. A numerical approximation of the Koopman operator therefore yields a linear system for the observation of an autonomous dynamical system. In our approach, by introducing a finite number of constant controls, the dynamic control system is transformed into a set of autonomous systems and the corresponding optimal control problem into a switching time optimization problem. This allows us to replace each of these systems by a K-ROM which can be solved orders of magnitude faster. By this approach, a nonlinear infinite-dimensional control problem is transformed into a low-dimensional linear problem. Using a recent convergence result for the numerical approximation via Extended Dynamic Mode Decomposition (EDMD), we show that the value of the K-ROM based objective function converges in measure to the value of the full objective function. To illustrate the results, we consider the 1D Burgers equation and the 2D Navier–Stokes equations. The numerical experiments show remarkable performance concerning both solution times and accuracy. AU - Peitz, Sebastian AU - Klus, Stefan ID - 10593 JF - Automatica SN - 0005-1098 TI - Koopman operator-based model reduction for switched-system control of PDEs VL - 106 ER - TY - JOUR AB - In this article we show that the boundary of the Pareto critical set of an unconstrained multiobjective optimization problem (MOP) consists of Pareto critical points of subproblems where only a subset of the set of objective functions is taken into account. If the Pareto critical set is completely described by its boundary (e.g., if we have more objective functions than dimensions in decision space), then this can be used to efficiently solve the MOP by solving a number of MOPs with fewer objective functions. If this is not the case, the results can still give insight into the structure of the Pareto critical set. AU - Gebken, Bennet AU - Peitz, Sebastian AU - Dellnitz, Michael ID - 10595 IS - 4 JF - Journal of Global Optimization SN - 0925-5001 TI - On the hierarchical structure of Pareto critical sets VL - 73 ER - TY - CONF AB - In comparison to classical control approaches in the field of electrical drives like the field-oriented control (FOC), model predictive control (MPC) approaches are able to provide a higher control performance. This refers to shorter settling times, lower overshoots, and a better decoupling of control variables in case of multi-variable controls. However, this can only be achieved if the used prediction model covers the actual behavior of the plant sufficiently well. In case of model deviations, the performance utilizing MPC remains below its potential. This results in effects like increased current ripple or steady state setpoint deviations. In order to achieve a high control performance, it is therefore necessary to adapt the model to the real plant behavior. When using an online system identification, a less accurate model is sufficient for commissioning of the drive system. In this paper, the combination of a finite-control-set MPC (FCS-MPC) with a system identification is proposed. The method does not require high-frequency signal injection, but uses the measured values already required for the FCS-MPC. An evaluation of the least squares-based identification on a laboratory test bench showed that the model accuracy and thus the control performance could be improved by an online update of the prediction models. AU - Hanke, Soren AU - Peitz, Sebastian AU - Wallscheid, Oliver AU - Böcker, Joachim AU - Dellnitz, Michael ID - 10597 SN - 9781538694145 T2 - 2019 IEEE International Symposium on Predictive Control of Electrical Drives and Power Electronics (PRECEDE) TI - Finite-Control-Set Model Predictive Control for a Permanent Magnet Synchronous Motor Application with Online Least Squares System Identification ER - TY - CONF AU - Schumacher, Jan ID - 13106 T2 - Beiträge zum Mathematikunterricht 2019 TI - Rekonstruktion diagrammatischen Schließens am Beispiel der Subtraktion negativer Zahlen ER - TY - CONF AB - In this paper, we first outline a Hypothetical Learning Trajectory (HLT), which aims at a formal understanding of the rules for manipulating integers. The HLT is based on task formats, which promote algebraic thinking in terms of generalizing rules from the analysis of patterns and should be familiar to students from their mathematics education experiences in elementary school. Second, we analyze two students' actual learning process based on Peircean semiotics. The analysis shows that the actual learning process diverges from the hypothesized learning process in that the students do not relate the different levels of the diagrams in a way that allows them to extrapolate the rule for the subtraction of negative numbers. Based on this finding, we point out consequences for the design of the tasks. AU - Schumacher, Jan AU - Rezat, Sebastian ED - Jankvist, Uffe Thomas ED - Van den Heuvel-Panhuizen, Marja ED - Veldhuis, Michiel ID - 13107 KW - diagrammatic reasoning KW - hypothetical learning trajectory KW - induction extrapolatory method KW - integers KW - negative numbers KW - permanence principle KW - semiotics T2 - Proceedings of the Eleventh Congress of the European Society for Research in Mathematics Education (CERME11, February 6 – 10, 2019) TI - A Hypothetical Learning Trajectory for the Learning of the Rules for Manipulating Integers ER -