Zielorientierte Adaptivität für nichtlineare Homogenisierungen mittels hierarchischer Modelle

Die Entwicklung und Herstellung innovativer Produkte unter Verwendung neuartiger Materialien erfordert fundierte Kenntnisse der Simulationsmethoden für eine sichere Auslegung von Bauteilen und Maschinen. Die zunehmende Verwendung heterogener Materialien wie Verbundwerkstoffe in der industriellen Praxis hat die Finite-Elemente-Simulation in Kombination mit der Homogenisierungstechnik zu einem weit akzeptierten und häufig sogar unvermeidlichen Werkzeug gemacht. Ein Bauteil wird häufig auf der Makroebene ausgelegt, welches mit Hilfe von Standard-Finite-Elemente-Methoden (FEM) simuliert werden kann, deren (räumlichen) Diskretisierungsfehler durch eine adaptive Netzverfeinerung leicht kontrollierbar sind. Viel komplizierter wird es, wenn das Material auf einer bestimmten Längenskala (z.B. mikro) inhärente Heterogenitäten aufweist. Man muss sich mit diesen Heterogenitäten auf dieser Skala auseinandersetzen und dann einen Skalenübergang durchführen, um das effektive Verhalten auf der Makroskala zu erhalten (oft als Homogenisierung bezeichnet). Es wurden beträchtliche Anstrengungen unternommen, um die mit der Homogenisierung verbundenen Rechenkosten zu verringern, die häufig als Homogenisierung reduzierter Ordnung angesehen werden. Der resultierende Modellfehler bleibt jedoch in der Regel unkontrolliert. Dieses Projekt befasst sich mit der numerischen Effizienz nichtlinearer Homogenisierungsprobleme durch eine selektive Verwendung zeitaufwändiger und genauer Homogenisierungsmethoden nur auf lokalen Makrodomänen, wo dies erforderlich ist. Zu diesem Zweck wird die Modelladaptivität als vielversprechende Methode für Plastizitätsprobleme entwickelt. Ähnlich wie bei der adaptiven FEM beginnt sie mit einer effizienten Homogenisierungsmethode, und dann wird durch eine Schleifenfehlerkontrolle ein lokaler Wechsel zu genauen Homogenisierungsmethoden durchgeführt, um die Genauigkeit zu verbessern (als Modellverfeinerung bezeichnet). Wie hierarchische FE-Strukturen für adaptive FEM müssen hierarchische Modelle für die Modelladaptivität erstellt werden. Wir werden eine Vielzahl von nichtlinearen Homogenisierungsmethoden abdecken und dabei Mean-Field-, Modellreduktions- und numerische Methoden berücksichtigen. Sowohl Nichtlinearitäten als auch die Zeitabhängigkeit des Plastizitätsproblems werfen einige Schwierigkeiten für die Fehlerschätzung auf, die in diesem Projekt behandelt werden. Um eine vollständige Fehlerkontrolle zu erreichen, wird die Modelladaptivität mit adaptiven Finite-Elementen in Raum und Zeit gekoppelt.