{"title":"First-order methods and gradient dynamical systems for multiobjective optimization","publisher":"Paderborn University","user_id":"56399","abstract":[{"text":"Diese Dissertation enthält Beiträge zum Bereich der Mehrzieloptimierung mit einem Fokus auf unbeschränkten Problemen, die auf einem allgemeinen Hilbertraum definiert sind. Für Mehrzieloptimierungsprobleme mit lokal Lipschitz-stetigen Zielfunktionen definieren wir ein multikriterielles Subdifferential, das wir erstmals im Kontext allgemeiner Hilberträume analysieren. Aufbauend auf diesen theoretischen Untersuchungen präsentieren wir ein Abstiegsverfahren, bei welchem in jeder Iteration eine Abstiegsrichtung mittels einer numerischen Approximation des multikriteriellen Subdifferentials bestimmt wird. Im Kontext konvexer, stetig differenzierbarer Zielfunktionen mit Lipschitz-stetigen Gradienten, führen wir eine Familie von dynamischen Gradientensystemen mit Trägheitsterm ein, die bekannte kontinuierliche Systeme aus der skalaren Optimierung verallgemeinern. Wir stellen drei neue Systeme vor: eines mit konstanter Dämpfung, eines mit asymptotisch abnehmender Dämpfung und eines, das zusätzlich eine zeitabhängige Tikhonov-Regularisierung beinhaltet. Aufbauend auf den Untersuchungen der neuen dynamischen Gradientensysteme, entwickeln wir ein beschleunigtes Gradientenverfahren zur Mehrzieloptimierung, das auf einer Diskretisierung des multikriteriellen Gradientensystems mit asymptotisch abnehmender Dämpfung beruht. Das hergeleitete Verfahren bewahrt die günstigen Konvergenzeigenschaften des kontinuierlichen Systems und erreicht eine schnellere Konvergenz als klassische Verfahren.","lang":"eng"},{"text":"This dissertation contributes to the field of multiobjective optimization, with a focus on unconstrained problems formulated in a general Hilbert space. For multiobjective optimization problems with locally Lipschitz continuous objective functions, we define a multiobjective subdifferential, which we analyze for the first time in the context of general Hilbert spaces. Building on these theoretical investigations, we present a descent method in which, at each iteration, a descent direction is determined via a numerical approximation of the multiobjective subdifferential. In the setting of convex, continuously differentiable objective functions with Lipschitz continuous gradients, we introduce a family of inertial gradient dynamical systems that generalize well-known continuous-time systems from scalar optimization. We present three novel systems: one with constant damping, one with asymptotic vanishing damping, and one combining vanishing damping with time-dependent Tikhonov regularization. Building on the investigation of the novel gradient dynamical systems, we develop an accelerated gradient method for multiobjective optimization via discretization of the multiobjective gradient system with asymptotic vanishing damping. The proposed method retains the favorable convergence properties of the continuous system while achieving faster convergence than standard approaches, such as classical methods.","lang":"eng"}],"date_updated":"2025-12-03T07:04:36Z","supervisor":[{"first_name":"Michael","last_name":"Dellnitz","full_name":"Dellnitz, Michael"},{"id":"16494","first_name":"Sina","last_name":"Ober-Blöbaum","full_name":"Ober-Blöbaum, Sina"}],"_id":"62750","citation":{"short":"K. Sonntag, First-Order Methods and Gradient Dynamical Systems for Multiobjective Optimization, Paderborn University, 2025.","apa":"Sonntag, K. (2025). <i>First-order methods and gradient dynamical systems for multiobjective optimization</i>. Paderborn University. <a href=\"https://doi.org/10.17619/UNIPB/1-2457\">https://doi.org/10.17619/UNIPB/1-2457</a>","chicago":"Sonntag, Konstantin. <i>First-Order Methods and Gradient Dynamical Systems for Multiobjective Optimization</i>. 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