Relaxed parameter conditions for chemotactic collapse in logistic-type parabolic–elliptic Keller–Segel systems
T. Black, M. Fuest, J. Lankeit, Zeitschrift Für Angewandte Mathematik Und Physik 72 (2021).
Download
No fulltext has been uploaded.
Journal Article
| Published
| English
Author
Black, TobiasLibreCat 
;
Fuest, Mario;
Lankeit, Johannes
;
Fuest, Mario;
Lankeit, JohannesDepartment
Abstract
<jats:title>Abstract</jats:title><jats:p>We study the finite-time blow-up in two variants of the parabolic–elliptic Keller–Segel system with nonlinear diffusion and logistic source. In <jats:italic>n</jats:italic>-dimensional balls, we consider <jats:disp-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\begin{aligned} {\left\{ \begin{array}{ll} u_t = \nabla \cdot ((u+1)^{m-1}\nabla u -u \nabla v) + \lambda u - \mu u^{1+\kappa }, \\ 0 = \Delta v - \frac{1}{|\Omega |} \int \limits _\Omega u + u \end{array}\right. } \end{aligned}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mtable>
<mml:mtr>
<mml:mtd>
<mml:mfenced>
<mml:mrow>
<mml:mtable>
<mml:mtr>
<mml:mtd>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mi>∇</mml:mi>
<mml:mo>·</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>m</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mi>∇</mml:mi>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mi>∇</mml:mi>
<mml:mi>v</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>λ</mml:mi>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>μ</mml:mi>
<mml:msup>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>κ</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd>
<mml:mrow>
<mml:mrow />
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mi>Δ</mml:mi>
<mml:mi>v</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow>
<mml:mo>|</mml:mo>
<mml:mi>Ω</mml:mi>
<mml:mo>|</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:munder>
<mml:mo>∫</mml:mo>
<mml:mi>Ω</mml:mi>
</mml:munder>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>u</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:disp-formula>and <jats:disp-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\begin{aligned} {\left\{ \begin{array}{ll} u_t = \nabla \cdot ((u+1)^{m-1}\nabla u -u \nabla v) + \lambda u - \mu u^{1+\kappa }, \\ 0 = \Delta v - v + u, \end{array}\right. } \end{aligned}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mtable>
<mml:mtr>
<mml:mtd>
<mml:mfenced>
<mml:mrow>
<mml:mtable>
<mml:mtr>
<mml:mtd>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mi>∇</mml:mi>
<mml:mo>·</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>m</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mi>∇</mml:mi>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mi>∇</mml:mi>
<mml:mi>v</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>λ</mml:mi>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>μ</mml:mi>
<mml:msup>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>κ</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd>
<mml:mrow>
<mml:mrow />
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mi>Δ</mml:mi>
<mml:mi>v</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>v</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:disp-formula>where <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\lambda $$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mi>λ</mml:mi>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> and <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\mu $$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mi>μ</mml:mi>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> are given spatially radial nonnegative functions and <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$m, \kappa > 0$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mi>m</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>κ</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> are given parameters subject to further conditions. In a unified treatment, we establish a bridge between previously employed methods on blow-up detection and relatively new results on pointwise upper estimates of solutions in both of the systems above and then, making use of this newly found connection, provide extended parameter ranges for <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$m,\kappa $$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mi>m</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>κ</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> leading to the existence of finite-time blow-up solutions in space dimensions three and above. In particular, for constant <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\lambda , \mu > 0$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mi>λ</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>μ</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>, we find that there are initial data which lead to blow-up in (JL) if <jats:disp-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\begin{aligned} 0 \le \kappa&< \min \left\{ \frac{1}{2}, \frac{n - 2}{n} - (m-1)_+ \right\}&\quad \text {if } m\in \left[ \frac{2}{n},\frac{2n-2}{n}\right) \\ \text { or }\quad 0 \le \kappa&<\min \left\{ \frac{1}{2},\frac{n-1}{n}-\frac{m}{2}\right\}&\quad \text {if } m\in \left( 0,\frac{2}{n}\right) , \end{aligned}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mtable>
<mml:mtr>
<mml:mtd>
<mml:mrow>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>≤</mml:mo>
<mml:mi>κ</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd>
<mml:mrow>
<mml:mo><</mml:mo>
<mml:mo>min</mml:mo>
<mml:mfenced>
<mml:mfrac>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mfrac>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>m</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>+</mml:mo>
</mml:msub>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd>
<mml:mrow>
<mml:mspace />
<mml:mtext>if</mml:mtext>
<mml:mspace />
<mml:mi>m</mml:mi>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:mfenced>
<mml:mfrac>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mfrac>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd>
<mml:mrow>
<mml:mrow />
<mml:mspace />
<mml:mtext>or</mml:mtext>
<mml:mspace />
<mml:mspace />
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>≤</mml:mo>
<mml:mi>κ</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd>
<mml:mrow>
<mml:mo><</mml:mo>
<mml:mo>min</mml:mo>
<mml:mfenced>
<mml:mfrac>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mfrac>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mi>m</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mfrac>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd>
<mml:mrow>
<mml:mspace />
<mml:mtext>if</mml:mtext>
<mml:mspace />
<mml:mi>m</mml:mi>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:mfenced>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mfrac>
</mml:mfenced>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:disp-formula>and in (PE) if <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$m \in [1, \frac{2n-2}{n})$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mi>m</mml:mi>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:mo>[</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> and <jats:disp-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\begin{aligned} 0 \le \kappa < \min \left\{ \frac{(m-1) n + 1}{2(n-1)}, \frac{n - 2 - (m-1) n}{n(n-1)} \right\} . \end{aligned}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mtable>
<mml:mtr>
<mml:mtd>
<mml:mrow>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>≤</mml:mo>
<mml:mi>κ</mml:mi>
<mml:mo><</mml:mo>
<mml:mo>min</mml:mo>
<mml:mfenced>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>m</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>)</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>m</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>)</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mfenced>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:disp-formula></jats:p>
Publishing Year
Journal Title
Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik
Volume
72
Issue
3
Article Number
96
LibreCat-ID
Cite this
Black T, Fuest M, Lankeit J. Relaxed parameter conditions for chemotactic collapse in logistic-type parabolic–elliptic Keller–Segel systems. Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik. 2021;72(3). doi:10.1007/s00033-021-01524-8
Black, T., Fuest, M., & Lankeit, J. (2021). Relaxed parameter conditions for chemotactic collapse in logistic-type parabolic–elliptic Keller–Segel systems. Zeitschrift Für Angewandte Mathematik Und Physik, 72(3), Article 96. https://doi.org/10.1007/s00033-021-01524-8
@article{Black_Fuest_Lankeit_2021, title={Relaxed parameter conditions for chemotactic collapse in logistic-type parabolic–elliptic Keller–Segel systems}, volume={72}, DOI={10.1007/s00033-021-01524-8}, number={396}, journal={Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik}, publisher={Springer Science and Business Media LLC}, author={Black, Tobias and Fuest, Mario and Lankeit, Johannes}, year={2021} }
Black, Tobias, Mario Fuest, and Johannes Lankeit. “Relaxed Parameter Conditions for Chemotactic Collapse in Logistic-Type Parabolic–Elliptic Keller–Segel Systems.” Zeitschrift Für Angewandte Mathematik Und Physik 72, no. 3 (2021). https://doi.org/10.1007/s00033-021-01524-8.
T. Black, M. Fuest, and J. Lankeit, “Relaxed parameter conditions for chemotactic collapse in logistic-type parabolic–elliptic Keller–Segel systems,” Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik, vol. 72, no. 3, Art. no. 96, 2021, doi: 10.1007/s00033-021-01524-8.
Black, Tobias, et al. “Relaxed Parameter Conditions for Chemotactic Collapse in Logistic-Type Parabolic–Elliptic Keller–Segel Systems.” Zeitschrift Für Angewandte Mathematik Und Physik, vol. 72, no. 3, 96, Springer Science and Business Media LLC, 2021, doi:10.1007/s00033-021-01524-8.
Google Scholar