A critical exponent in a quasilinear Keller–Segel system with arbitrarily fast decaying diffusivities accounting for volume-filling effects

<jats:title>Abstract</jats:title><jats:p>The quasilinear Keller–Segel system <jats:disp-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} u_t=\nabla \cdot (D(u)\nabla u) - \nabla \cdot (S(u)\nabla v), \\ v_t=\Delta v-v+u, \end{array}\right. \end{aligned}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow /> <mml:msub> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:disp-formula>endowed with homogeneous Neumann boundary conditions is considered in a bounded domain <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\Omega \subset {\mathbb {R}}^n$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>, <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$n \ge 3$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>, with smooth boundary for sufficiently regular functions <jats:italic>D</jats:italic> and <jats:italic>S</jats:italic> satisfying <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$D&gt;0$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> on <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$[0,\infty )$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>, <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$S&gt;0$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> on <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$(0,\infty )$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> and <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$S(0)=0$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>. On the one hand, it is shown that if <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\frac{S}{D}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mfrac> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>D</mml:mi> </mml:mfrac> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> satisfies the subcritical growth condition <jats:disp-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\begin{aligned} \frac{S(s)}{D(s)} \le C s^\alpha \qquad \text{ for } \text{ all } s\ge 1 \qquad \text{ with } \text{ some } \alpha &lt; \frac{2}{n} \end{aligned}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msup> <mml:mspace /> <mml:mspace /> <mml:mtext>for</mml:mtext> <mml:mspace /> <mml:mspace /> <mml:mtext>all</mml:mtext> <mml:mspace /> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mspace /> <mml:mspace /> <mml:mtext>with</mml:mtext> <mml:mspace /> <mml:mspace /> <mml:mtext>some</mml:mtext> <mml:mspace /> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:disp-formula>and <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$C&gt;0$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>, then for any sufficiently regular initial data there exists a global weak energy solution such that <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$${ \mathrm{{ess}}} \sup _{t&gt;0} \Vert u(t) \Vert _{L^p(\Omega )}&lt;\infty $$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ess</mml:mi> <mml:msub> <mml:mo>sup</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> for some <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$p &gt; \frac{2n}{n+2}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>. On the other hand, if <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\frac{S}{D}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mfrac> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>D</mml:mi> </mml:mfrac> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> satisfies the supercritical growth condition <jats:disp-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\begin{aligned} \frac{S(s)}{D(s)} \ge c s^\alpha \qquad \text{ for } \text{ all } s\ge 1 \qquad \text{ with } \text{ some } \alpha &gt; \frac{2}{n} \end{aligned}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msup> <mml:mspace /> <mml:mspace /> <mml:mtext>for</mml:mtext> <mml:mspace /> <mml:mspace /> <mml:mtext>all</mml:mtext> <mml:mspace /> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mspace /> <mml:mspace /> <mml:mtext>with</mml:mtext> <mml:mspace /> <mml:mspace /> <mml:mtext>some</mml:mtext> <mml:mspace /> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:disp-formula>and <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$c&gt;0$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>, then the nonexistence of a global weak energy solution having the boundedness property stated above is shown for some initial data in the radial setting. This establishes some criticality of the value <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\alpha = \frac{2}{n}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> for <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$n \ge 3$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>, without any additional assumption on the behavior of <jats:italic>D</jats:italic>(<jats:italic>s</jats:italic>) as <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$s \rightarrow \infty $$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>, in particular without requiring any algebraic lower bound for <jats:italic>D</jats:italic>. When applied to the Keller–Segel system with volume-filling effect for probability distribution functions of the type <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$Q(s) = \exp (-s^\beta )$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>exp</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>, <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$s \ge 0$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>, for global solvability the exponent <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\beta = \frac{n-2}{n}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> is seen to be critical. </jats:p>