Slow Grow-up in a Quasilinear Keller–Segel System
M. Winkler, Journal of Dynamics and Differential Equations (2022).
Download
No fulltext has been uploaded.
Journal Article
| Published
| English
Author
Winkler, Michael
Abstract
<jats:title>Abstract</jats:title><jats:p>In a ball <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\Omega =B_R(0)\subset \mathbb {R}^n$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mi>Ω</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi>B</mml:mi>
<mml:mi>R</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>⊂</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>R</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>, <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$n\ge 2$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>≥</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>, the chemotaxis system <jats:disp-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l}u_t = \nabla \cdot \big ( D(u) \nabla u \big ) - \nabla \cdot \big ( uS(u)\nabla v\big ), \\ 0 = \Delta v - \mu + u, \qquad \mu =\frac{1}{|\Omega |} \int _\Omega u, \end{array} \right. \qquad \qquad (\star ) \end{aligned}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mtable>
<mml:mtr>
<mml:mtd>
<mml:mrow>
<mml:mfenced>
<mml:mrow>
<mml:mtable>
<mml:mtr>
<mml:mtd>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mi>∇</mml:mi>
<mml:mo>·</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>∇</mml:mi>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>∇</mml:mi>
<mml:mo>·</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mi>S</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>∇</mml:mi>
<mml:mi>v</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd>
<mml:mrow>
<mml:mrow />
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mi>Δ</mml:mi>
<mml:mi>v</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>μ</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mspace />
<mml:mi>μ</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow>
<mml:mo>|</mml:mo>
<mml:mi>Ω</mml:mi>
<mml:mo>|</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msub>
<mml:mo>∫</mml:mo>
<mml:mi>Ω</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mspace />
<mml:mspace />
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mo>⋆</mml:mo>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:disp-formula>is considered under no-flux boundary conditions, with a focus on nonlinearities <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$S\in C^2([0,\infty ))$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mi>S</mml:mi>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>[</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> which exhibit super-algebraically fast decay in the sense that with some <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$K_S>0, \beta \in [0,1)$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi>K</mml:mi>
<mml:mi>S</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>β</mml:mi>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>[</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> and <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\xi _0>0$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi>ξ</mml:mi>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>, <jats:disp-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\begin{aligned} S(\xi )>0 \quad \text{ and } \quad S'(\xi ) \le -K_S\xi ^{-\beta } S(\xi ) \qquad \text{ for } \text{ all } \xi \ge \xi _0. \end{aligned}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mtable>
<mml:mtr>
<mml:mtd>
<mml:mrow>
<mml:mi>S</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>ξ</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mspace />
<mml:mspace />
<mml:mtext>and</mml:mtext>
<mml:mspace />
<mml:mspace />
<mml:msup>
<mml:mi>S</mml:mi>
<mml:mo>′</mml:mo>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>ξ</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>≤</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi>K</mml:mi>
<mml:mi>S</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:msup>
<mml:mi>ξ</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>β</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mi>S</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>ξ</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mspace />
<mml:mspace />
<mml:mtext>for</mml:mtext>
<mml:mspace />
<mml:mspace />
<mml:mtext>all</mml:mtext>
<mml:mspace />
<mml:mi>ξ</mml:mi>
<mml:mo>≥</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi>ξ</mml:mi>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:disp-formula>It is, inter alia, shown that if furthermore <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$D\in C^2((0,\infty ))$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> is positive and suitably small in relation to <jats:italic>S</jats:italic> by satisfying <jats:disp-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\begin{aligned} \frac{\xi S(\xi )}{D(\xi )} \ge K_{SD}\xi ^\lambda \qquad \text{ for } \text{ all } \xi \ge \xi _0 \end{aligned}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mtable>
<mml:mtr>
<mml:mtd>
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mi>ξ</mml:mi>
<mml:mi>S</mml:mi>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>ξ</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>ξ</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>≥</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi>K</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mi>SD</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:msup>
<mml:mi>ξ</mml:mi>
<mml:mi>λ</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mspace />
<mml:mspace />
<mml:mtext>for</mml:mtext>
<mml:mspace />
<mml:mspace />
<mml:mtext>all</mml:mtext>
<mml:mspace />
<mml:mi>ξ</mml:mi>
<mml:mo>≥</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi>ξ</mml:mi>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:disp-formula>with some <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$K_{SD}>0$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi>K</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mi>SD</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> and <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\lambda >\frac{2}{n}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mi>λ</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>, then throughout a considerably large set of initial data, (<jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\star $$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mo>⋆</mml:mo>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>) admits global classical solutions (<jats:italic>u</jats:italic>, <jats:italic>v</jats:italic>) fulfilling <jats:disp-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\begin{aligned} \frac{z(t)}{C} \le \Vert u(\cdot ,t)\Vert _{L^\infty (\Omega )} \le Cz(t) \qquad \text{ for } \text{ all } t>0, \end{aligned}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mtable>
<mml:mtr>
<mml:mtd>
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mi>z</mml:mi>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>C</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:mo>≤</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo>‖</mml:mo>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mo>·</mml:mo>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>‖</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mi>L</mml:mi>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>Ω</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>≤</mml:mo>
<mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mi>z</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mspace />
<mml:mspace />
<mml:mtext>for</mml:mtext>
<mml:mspace />
<mml:mspace />
<mml:mtext>all</mml:mtext>
<mml:mspace />
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:disp-formula>with some <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$C=C^{(u,v)}\ge 1$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>v</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mo>≥</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>, where <jats:italic>z</jats:italic> denotes the solution of <jats:disp-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l}z'(t) = z^2(t) \cdot S\big ( z(t)\big ), \qquad t>0, \\ z(0)=\xi _0, \end{array} \right. \end{aligned}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mtable>
<mml:mtr>
<mml:mtd>
<mml:mfenced>
<mml:mrow>
<mml:mtable>
<mml:mtr>
<mml:mtd>
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mi>z</mml:mi>
<mml:mo>′</mml:mo>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi>z</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>·</mml:mo>
<mml:mi>S</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>z</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mspace />
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd>
<mml:mrow>
<mml:mrow />
<mml:mi>z</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi>ξ</mml:mi>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:disp-formula>which is seen to exist globally, and to satisfy <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$z(t)\rightarrow +\infty $$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mi>z</mml:mi>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
<mml:mo>→</mml:mo>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> as <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$t\rightarrow \infty $$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>→</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>. As particular examples, exponentially and doubly exponentially decaying <jats:italic>S</jats:italic> are found to imply corresponding infinite-time blow-up properties in (<jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\star $$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mo>⋆</mml:mo>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>) at logarithmic and doubly logarithmic rates, respectively.</jats:p>
Keywords
Publishing Year
Journal Title
Journal of Dynamics and Differential Equations
LibreCat-ID
Cite this
Winkler M. Slow Grow-up in a Quasilinear Keller–Segel System. Journal of Dynamics and Differential Equations. Published online 2022. doi:10.1007/s10884-022-10167-w
Winkler, M. (2022). Slow Grow-up in a Quasilinear Keller–Segel System. Journal of Dynamics and Differential Equations. https://doi.org/10.1007/s10884-022-10167-w
@article{Winkler_2022, title={Slow Grow-up in a Quasilinear Keller–Segel System}, DOI={10.1007/s10884-022-10167-w}, journal={Journal of Dynamics and Differential Equations}, publisher={Springer Science and Business Media LLC}, author={Winkler, Michael}, year={2022} }
Winkler, Michael. “Slow Grow-up in a Quasilinear Keller–Segel System.” Journal of Dynamics and Differential Equations, 2022. https://doi.org/10.1007/s10884-022-10167-w.
M. Winkler, “Slow Grow-up in a Quasilinear Keller–Segel System,” Journal of Dynamics and Differential Equations, 2022, doi: 10.1007/s10884-022-10167-w.
Winkler, Michael. “Slow Grow-up in a Quasilinear Keller–Segel System.” Journal of Dynamics and Differential Equations, Springer Science and Business Media LLC, 2022, doi:10.1007/s10884-022-10167-w.