Global generalized solvability in a strongly degenerate taxis-type parabolic system modeling migration–consumption interaction

<jats:title>Abstract</jats:title><jats:p>The parabolic problem <jats:disp-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} u_t=\Delta \big (u\phi (v)\big ), \\ v_t=\Delta v-uv, \end{array} \right. \end{aligned}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow /> <mml:msub> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:disp-formula>is considered in smoothly bounded subdomains of <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$${\mathbb {R}}^n$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> with arbitrary <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$n\ge 1$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>. Under the assumptions that <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\phi \in C^0([0,\infty )) \cap C^3((0,\infty ))$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>∩</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> is positive on <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$(0,\infty )$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> and satisfies <jats:disp-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\begin{aligned} \liminf _{\xi \searrow 0} \frac{\phi (\xi )}{\xi ^\alpha }&gt;0 \quad {\text{ and }} \quad \limsup _{\xi \searrow 0} \big \{ \xi ^\beta |\phi '(\xi )| \big \}&lt;\infty \end{aligned}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mo>lim inf</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo>↘</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msup> </mml:mfrac> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mspace /> <mml:mrow> <mml:mspace /> <mml:mtext>and</mml:mtext> <mml:mspace /> </mml:mrow> <mml:mspace /> <mml:munder> <mml:mo>lim sup</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo>↘</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:disp-formula>with some <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\alpha &gt;0$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> and <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\beta &gt;0$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>, for all reasonably regular initial data an associated no-flux type initial-boundary value problem is shown to admit a global solution in an appropriately generalized sense. This extends previously developed solution theories on problems of this form, which either concentrated on non-degenerate or weakly degenerate cases corresponding to the choices <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\alpha =0$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> and <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\alpha \in (0,2)$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>, or were restricted to low-dimensional settings by requiring that <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$n\le 2$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>.</jats:p>