Rough solutions in one-dimensional nonlinear thermoelasticity
M. Winkler, Calculus of Variations and Partial Differential Equations 65 (2025).
Download
No fulltext has been uploaded.
Journal Article
| Published
| English
Author
Abstract
<jats:title>Abstract</jats:title>
<jats:p>
The hyperbolic-parabolic model
<jats:disp-formula>
<jats:alternatives>
<jats:tex-math>$$\begin{aligned} \left\{ \begin{array}{ll} u_{tt} = u_{xx} - \big (f(\Theta )\big )_x, \qquad & x\in \Omega , \ t>0, \\ \Theta _t = \Theta _{xx} - f(\Theta ) u_{xt}, \qquad & x\in \Omega , \ t>0, \end{array} \right. \end{aligned}$$</jats:tex-math>
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mtable>
<mml:mtr>
<mml:mtd>
<mml:mfenced>
<mml:mrow>
<mml:mtable>
<mml:mtr>
<mml:mtd>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mi>tt</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mi>xx</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>f</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>Θ</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mspace/>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:mi>Ω</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mspace/>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd>
<mml:mrow>
<mml:mrow/>
<mml:msub>
<mml:mi>Θ</mml:mi>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi>Θ</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mi>xx</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>f</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>Θ</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mi>xt</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mspace/>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:mi>Ω</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mspace/>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:math>
</jats:alternatives>
</jats:disp-formula>
for the evolution of the displacement variable
<jats:italic>u</jats:italic>
and the temperature
<jats:inline-formula>
<jats:alternatives>
<jats:tex-math>$$\Theta \ge 0$$</jats:tex-math>
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mi>Θ</mml:mi>
<mml:mo>≥</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
</jats:alternatives>
</jats:inline-formula>
during thermoelastic interaction in a one-dimensional bounded interval
<jats:inline-formula>
<jats:alternatives>
<jats:tex-math>$$\Omega $$</jats:tex-math>
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mi>Ω</mml:mi>
</mml:math>
</jats:alternatives>
</jats:inline-formula>
is considered. Whereas the literature has provided comprehensive results on global solutions for sufficiently regular initial data
<jats:inline-formula>
<jats:alternatives>
<jats:tex-math>$$(u_0,u_{0t},\Theta _0)=(u,u_t,\Theta )|_{t=0}$$</jats:tex-math>
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi>Θ</mml:mi>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>Θ</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo>|</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:math>
</jats:alternatives>
</jats:inline-formula>
when
<jats:inline-formula>
<jats:alternatives>
<jats:tex-math>$$f\equiv id$$</jats:tex-math>
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mi>f</mml:mi>
<mml:mo>≡</mml:mo>
<mml:mi>i</mml:mi>
<mml:mi>d</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
</jats:alternatives>
</jats:inline-formula>
, it seems to have remained open so far how far a solution theory can be built solely on the two fundamental physical principles of energy conservation and entropy nondecrease. The present manuscript addresses this by asserting global existence of weak solutions under assumptions which are energy- and entropy-minimal in the sense of allowing for any initial data
<jats:inline-formula>
<jats:alternatives>
<jats:tex-math>$$u_0\in W_0^{1,2}(\Omega )$$</jats:tex-math>
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mi>W</mml:mi>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>Ω</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math>
</jats:alternatives>
</jats:inline-formula>
,
<jats:inline-formula>
<jats:alternatives>
<jats:tex-math>$$u_{0t} \in L^2(\Omega )$$</jats:tex-math>
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi>L</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>Ω</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math>
</jats:alternatives>
</jats:inline-formula>
and
<jats:inline-formula>
<jats:alternatives>
<jats:tex-math>$$0\le \Theta _0\in L^1(\Omega )$$</jats:tex-math>
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>≤</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi>Θ</mml:mi>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi>L</mml:mi>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>Ω</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math>
</jats:alternatives>
</jats:inline-formula>
, and which apply to arbitrary
<jats:inline-formula>
<jats:alternatives>
<jats:tex-math>$$f\in C^1([0,\infty ))$$</jats:tex-math>
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mi>f</mml:mi>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>[</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math>
</jats:alternatives>
</jats:inline-formula>
with
<jats:inline-formula>
<jats:alternatives>
<jats:tex-math>$$f(0)=0$$</jats:tex-math>
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mi>f</mml:mi>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>)</mml:mo>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
</jats:alternatives>
</jats:inline-formula>
and
<jats:inline-formula>
<jats:alternatives>
<jats:tex-math>$$f'>0$$</jats:tex-math>
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mi>f</mml:mi>
<mml:mo>′</mml:mo>
</mml:msup>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
</jats:alternatives>
</jats:inline-formula>
on
<jats:inline-formula>
<jats:alternatives>
<jats:tex-math>$$[0,\infty )$$</jats:tex-math>
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mo>[</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</jats:alternatives>
</jats:inline-formula>
.
</jats:p>
Publishing Year
Journal Title
Calculus of Variations and Partial Differential Equations
Volume
65
Issue
1
Article Number
1
LibreCat-ID
Cite this
Winkler M. Rough solutions in one-dimensional nonlinear thermoelasticity. Calculus of Variations and Partial Differential Equations. 2025;65(1). doi:10.1007/s00526-025-03170-8
Winkler, M. (2025). Rough solutions in one-dimensional nonlinear thermoelasticity. Calculus of Variations and Partial Differential Equations, 65(1), Article 1. https://doi.org/10.1007/s00526-025-03170-8
@article{Winkler_2025, title={Rough solutions in one-dimensional nonlinear thermoelasticity}, volume={65}, DOI={10.1007/s00526-025-03170-8}, number={11}, journal={Calculus of Variations and Partial Differential Equations}, publisher={Springer Science and Business Media LLC}, author={Winkler, Michael}, year={2025} }
Winkler, Michael. “Rough Solutions in One-Dimensional Nonlinear Thermoelasticity.” Calculus of Variations and Partial Differential Equations 65, no. 1 (2025). https://doi.org/10.1007/s00526-025-03170-8.
M. Winkler, “Rough solutions in one-dimensional nonlinear thermoelasticity,” Calculus of Variations and Partial Differential Equations, vol. 65, no. 1, Art. no. 1, 2025, doi: 10.1007/s00526-025-03170-8.
Winkler, Michael. “Rough Solutions in One-Dimensional Nonlinear Thermoelasticity.” Calculus of Variations and Partial Differential Equations, vol. 65, no. 1, 1, Springer Science and Business Media LLC, 2025, doi:10.1007/s00526-025-03170-8.
Google Scholar