Externally forced blow-up and optimal spaces for source regularity in the two-dimensional Navier–Stokes system

<jats:title>Abstract</jats:title> <jats:p>The Navier–Stokes system <jats:disp-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$\begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} u_t + (u\cdot \nabla ) u =\Delta u+\nabla P + f(x,t), \\ \nabla \cdot u=0, \end{array} \right. \end{aligned}$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:disp-formula>is considered along with homogeneous Dirichlet boundary conditions in a smoothly bounded planar domain <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$\Omega $$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula>. It is firstly, inter alia, observed that if <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$T&gt;0$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> and <jats:disp-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$\begin{aligned} \int _0^T \bigg \{ \int _\Omega |f(x,t)| \cdot \ln ^\frac{1}{2} \big (|f(x,t)|+1\big ) dx \bigg \}^2 dt &lt;\infty , \end{aligned}$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:msup> <mml:mo>ln</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:disp-formula>then for all divergence-free <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$u_0\in L^2(\Omega ;{\mathbb {R}}^2)$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula>, a corresponding initial-boundary value problem admits a weak solution <jats:italic>u</jats:italic> with <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$u|_{t=0}=u_0$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula>. For any positive and nondecreasing <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$L\in C^0([0,\infty ))$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> such that <jats:disp-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$\begin{aligned} \frac{L(\xi )}{\ln ^\frac{1}{2} \xi } \rightarrow 0 \qquad \text{ as } \xi \rightarrow \infty , \end{aligned}$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mo>ln</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:msup> <mml:mi>ξ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mtext>as</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:disp-formula>this is complemented by a statement on nonexistence of such a solution in the presence of smooth initial data and a suitably constructed <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$f:\Omega \times (0,T)\rightarrow {\mathbb {R}}^2$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> fulfilling <jats:disp-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$\begin{aligned} \int _0^T \bigg \{ \int _\Omega |f(x,t)| \cdot L\big (|f(x,t)|\big ) dx \bigg \}^2 dt &lt; \infty . \end{aligned}$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:disp-formula>This resolves a fine structure in the borderline case <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$p=1$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> and <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$q=2$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> appearing in results on existence of weak solutions for sources in <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$L^q((0,T);L^p(\Omega ;{\mathbb {R}}^2))$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> when <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$p\in (1,\infty ]$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> and <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$q\in [1,\infty ]$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> satisfy <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}\le \frac{3}{2}$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mfrac> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:mfrac> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula>, and on nonexistence if here <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$p\in [1,\infty )$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> and <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$q\in [1,\infty )$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> are such that <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}&gt;\frac{3}{2}$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mfrac> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:mfrac> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula>.</jats:p>