Large-data solutions in one-dimensional thermoviscoelasticity involving temperature-dependent viscosities

<jats:title>Abstract</jats:title> <jats:p> An initial-boundary value problem for <jats:disp-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$\begin{aligned} \left\{ \begin{array}{ll}u_{tt} = \big (\gamma (\Theta ) u_{xt}\big )_x + au_{xx} - \big (f(\Theta )\big )_x, \qquad &amp; x\in \Omega , \ t&gt;0, \\[1mm] \Theta _t = \Theta _{xx} + \gamma (\Theta ) u_{xt}^2 - f(\Theta ) u_{xt}, \qquad &amp; x\in \Omega , \ t&gt;0, \end{array} \right. \end{aligned}$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>tt</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Θ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>xt</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>xx</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Θ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>Θ</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Θ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>xx</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Θ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>xt</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Θ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>xt</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:disp-formula> is considered in an open bounded real interval <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$\Omega $$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> . Under the assumption that <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$\gamma \in C^0([0,\infty ))$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> and <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$f\in C^0([0,\infty ))$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> are such that <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$f(0)=0$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , and <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$k_\gamma \le \gamma \le K_\gamma $$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> as well as <jats:disp-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$\begin{aligned} |f(\xi )| \le K_f \cdot (\xi +1)^\alpha \qquad \hbox {for all } \xi \ge 0 \end{aligned}$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msup> <mml:mspace/> <mml:mtext>for all</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:disp-formula> with some <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$k_\gamma&gt;0, K_\gamma&gt;0, K_f&gt;0$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> and <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$\alpha &lt;\frac{3}{2}$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , for all suitably regular initial data of arbitrary size a statement on global existence of a global weak solution is derived. By particularly covering the thermodynamically consistent choice <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$f\equiv id$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>≡</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> of predominant physical relevance, this appears to go beyond previous related literature which seems to either rely on independence of <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$\gamma $$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> on <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$\Theta $$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Θ</mml:mi> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , or to operate on finite time intervals. </jats:p>