Radial blow-up in quasilinear Keller-Segel systems: approaching the full picture

<jats:title>Abstract</jats:title> <jats:p>The Neumann problem for the Keller-Segel system <jats:inline-formula> <jats:tex-math/> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mtable columnalign="left" displaystyle="true"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mtable columnalign="left" displaystyle="true"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∇</mml:mi> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∇</mml:mi> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∇</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mstyle scriptlevel="0"/> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mstyle scriptlevel="0"/> <mml:mstyle scriptlevel="0"/> <mml:mstyle scriptlevel="0"/> <mml:mstyle scriptlevel="0"/> <mml:mstyle scriptlevel="0"/> <mml:mstyle scriptlevel="0"/> <mml:mstyle scriptlevel="0"/> <mml:mstyle scriptlevel="0"/> <mml:mstyle scriptlevel="0"/> <mml:msub> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mtext>d</mml:mtext> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mstyle> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> </jats:inline-formula> is considered in <jats:italic>n</jats:italic>-dimensional balls Ω with <jats:inline-formula> <jats:tex-math/> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mtext>⩾</mml:mtext> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </jats:inline-formula>, with suitably regular and radially symmetric, radially nonincreasing initial data <jats:italic>u</jats:italic> <jats:sub>0</jats:sub>. The functions <jats:italic>D</jats:italic> and <jats:italic>S</jats:italic> are only assumed to belong to <jats:inline-formula> <jats:tex-math/> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:inline-formula> and to satisfy <jats:italic>D</jats:italic> &gt; 0 and <jats:inline-formula> <jats:tex-math/> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mtext>⩾</mml:mtext> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </jats:inline-formula> on <jats:inline-formula> <jats:tex-math/> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:inline-formula> as well as <jats:inline-formula> <jats:tex-math/> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </jats:inline-formula>; in particular, diffusivities with arbitrarily fast decay are included.</jats:p> <jats:p>In this general context, it is shown that it is merely the asymptotic behavior as <jats:inline-formula> <jats:tex-math/> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo accent="false" stretchy="false">→</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:inline-formula> of the expression <jats:inline-formula> <jats:tex-math/> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mtable columnalign="left" displaystyle="true"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>:=</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mfrac> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mfrac> </mml:msup> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mstyle scriptlevel="0"/> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> </jats:inline-formula> which decides about the occurrence of blow-up: Namely, it is seen that <jats:list id="nonad871al1" list-type="bullet"> <jats:list-item id="nonad871al1.1"> <jats:label>•</jats:label> <jats:p>if <jats:inline-formula> <jats:tex-math/> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mo movablelimits="true">lim</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo accent="false" stretchy="false">→</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </jats:inline-formula>, then any such solution is global and bounded, that</jats:p> </jats:list-item> <jats:list-item id="nonad871al1.2"> <jats:label>•</jats:label> <jats:p>if <jats:inline-formula> <jats:tex-math/> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mo movablelimits="true">lim sup</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo accent="false" stretchy="false">→</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:inline-formula> and <jats:inline-formula> <jats:tex-math/> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </jats:inline-formula> is suitably small, then the corresponding solution is global and bounded, and that</jats:p> </jats:list-item> <jats:list-item id="nonad871al1.3"> <jats:label>•</jats:label> <jats:p>if <jats:inline-formula> <jats:tex-math/> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mo movablelimits="true">lim inf</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo accent="false" stretchy="false">→</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </jats:inline-formula>, then at each appropriately large mass level <jats:italic>m</jats:italic>, there exist radial initial data <jats:italic>u</jats:italic> <jats:sub>0</jats:sub> such that <jats:inline-formula> <jats:tex-math/> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:inline-formula>, and that the associated solution blows up either in finite or in infinite time.</jats:p> </jats:list-item> </jats:list> </jats:p> <jats:p>This especially reveals the presence of critical mass phenomena whenever <jats:inline-formula> <jats:tex-math/> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mo movablelimits="true">lim</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo accent="false" stretchy="false">→</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:inline-formula> exists.</jats:p>