Stabilization of arbitrary structures in a doubly degenerate reaction-diffusion system modeling bacterial motion on a nutrient-poor agar

<jats:title>Abstract</jats:title><jats:p>A no-flux initial-boundary value problem for the doubly degenrate parabolic system <jats:disp-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} u_t = \nabla \cdot \big ( uv\nabla u\big ) + \ell uv, \\ v_t = \Delta v - uv, \end{array} \right. \qquad \qquad (\star ) \end{aligned}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>ℓ</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:msub> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>⋆</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:disp-formula>is considered in a smoothly bounded convex domain <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\Omega \subset \mathbb {R}^n$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>, with <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$n\ge 1$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> and <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\ell \ge 0$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ℓ</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>. The first of the main results asserts that for nonnegative initial data <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$(u_0,v_0)\in (L^\infty (\Omega ))^2$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> with <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$u_0\not \equiv 0$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>≢</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>, <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$v_0\not \equiv 0$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>≢</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> and <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\sqrt{v_0}\in W^{1,2}(\Omega )$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:msub> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:msqrt> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>, there exists a global weak solution (<jats:italic>u</jats:italic>, <jats:italic>v</jats:italic>) which, inter alia, belongs to <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$C^0(\overline{\Omega }\times (0,\infty )) \times C^{2,1}(\overline{\Omega }\times (0,\infty ))$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mover> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mover> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mover> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mover> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> and satisfies <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\sup _{t&gt;0} \Vert u(\cdot ,t)\Vert _{L^p(\Omega )}&lt;\infty $$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mo>sup</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> for all <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$p\in [1,p_0)$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> with <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$p_0:=\frac{n}{(n-2)_+}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msub> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>. It is next seen that for each of these solutions one can find <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$u_\infty \in \bigcap _{p\in [1,p_0)} L^p(\Omega )$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mo>⋂</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> such that, within an appropriate topological setting, <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$(u(\cdot ,t),v(\cdot ,t))$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> approaches the equilibrium <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$(u_\infty ,0)$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> in the large time limit. Finally, in the case <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$n\le 5$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> a result ensuring a certain stability property of any member in the uncountably large family of steady states <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$(u_0,0)$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>, with arbitrary and suitably regular <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$u_0:\Omega \rightarrow [0,\infty )$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>, is derived. This provides some rigorous evidence for the appropriateness of (<jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\star $$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mo>⋆</mml:mo> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>) to model the emergence of a strikingly large variety of stable structures observed in experiments on bacterial motion in nutrient-poor environments. Essential parts of the analysis rely on the use of an apparently novel class of functional inequalities to suitably cope with the doubly degenerate diffusion mechanism in (<jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\star $$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mo>⋆</mml:mo> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>).</jats:p>