Rough Data in an Evolution System Generalizing 1D Thermoviscoelasticity with Temperature-Dependent Parameters

<jats:title>Abstract</jats:title> <jats:p>A Neumann-type initial-boundary value problem for <jats:disp-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$\begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} u_{tt} = \nabla \cdot (\gamma (\Theta ) \nabla u_t) + a \nabla \cdot (\gamma (\Theta ) \nabla u) + \nabla \cdot f(\Theta ), \\ \Theta _t = D\Delta \Theta + \Gamma (\Theta ) |\nabla u_t|^2 + F(\Theta )\cdot \nabla u_t, \end{array} \right. \end{aligned}$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>tt</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Θ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Θ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Θ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:msub> <mml:mi>Θ</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>Θ</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Θ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Θ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:disp-formula>is considered in a smoothly bounded domain <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$\Omega \subset \mathbb {R}^n$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula>, <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$n\ge 1$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula>. In the case when <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$n=1$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula>, <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$\gamma \equiv \Gamma $$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>≡</mml:mo> <mml:mi>Γ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> and <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$f\equiv F$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>≡</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula>, this system coincides with the standard model for heat generation in a viscoelastic material of Kelvin-Voigt type, well-understood in situations in which <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$\gamma =const$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mi>o</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula>. Covering scenarios in which all key ingredients <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$\gamma ,\Gamma ,f$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> and <jats:italic>F</jats:italic> may depend on the temperature <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$\Theta $$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Θ</mml:mi> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> here, for initial data which merely satisfy <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$u_0\in W^{1,p+2}(\Omega )$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula>, <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$u_{0t}\in W^{1,p}(\Omega )$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> and <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$\Theta _0\in W^{1,p}(\Omega )$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>Θ</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> with some <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$p\ge 2$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> such that <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$p&gt;n$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula>, a result on local-in-time existence and uniqueness is derived in a natural framework of weak solvability.</jats:p>