Geometry and arithmetic of components of Hurwitz spaces

Hurwitz spaces are moduli spaces that classify ramified covers of the projective line on which a fixed group G acts. Their geometric and arithmetic properties are related to number theoretical questions, particularly the inverse Galois problem. In this thesis, we study the connected components of these spaces. Firstly, we prove results concerning the asymptotic behavior of the count of connected components of Hurwitz spaces as the number of branch points of the covers they classify grows. Secondly, we establish stability results for fields of definitions of connected components of Hurwitz spaces under the gluing operation. These results relate topological and arithmetical properties of covers. Three expository chapters, devoid of original statements, present the various objects. In an appendix, we summarize the thesis for the general public.

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Les espaces de Hurwitz sont des espaces de modules qui classifient les revêtements ramifiés de la droite projective sur lesquels un groupe G, fixé, agit. Leurs propriétés géométriques et arithmétiques sont liées à des questions de théorie des nombres, et no- tamment au problème de Galois inverse. Dans cette thèse, on étudie les composantes connexes de ces espaces. Dans un premier temps, on démontre des résultats concer- nant l’évolution du nombre de composantes connexes des espaces de Hurwitz à mesure que le nombre de points de branchement des revêtements qu’ils classifient augmente. Dans un second temps, on démontre des résultats de stabilité, sous l’opération de rec- ollement des composantes connexes des espaces de Hurwitz, de leur corps de défini- tion. Ces résultats relient les propriétés topologiques et arithmétiques des revêtements. Trois chapitres d’exposition, dénués d’énoncés originaux, présentent les différents ob- jets étudiés. Dans un appendice, on résume la thèse à l’attention du grand public.