Exactly wave-type homoclinic orbits and emergence of transient exponential growth in a super-fast diffusion equation
C. Hanfland, M. Winkler, Journal of Elliptic and Parabolic Equations 11 (2025) 2041–2063.
Download
No fulltext has been uploaded.
Journal Article
| Published
| English
Author
Hanfland, Celina;
Winkler, MichaelLibreCat
Abstract
<jats:title>Abstract</jats:title>
<jats:p>
For
<jats:inline-formula>
<jats:alternatives>
<jats:tex-math>$$p>2$$</jats:tex-math>
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
</jats:alternatives>
</jats:inline-formula>
, the equation
<jats:disp-formula>
<jats:alternatives>
<jats:tex-math>$$\begin{aligned} u_t = u^p u_{xx}, \qquad x\in \mathbb {R}, \ t\in \mathbb {R}, \end{aligned}$$</jats:tex-math>
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mtable>
<mml:mtr>
<mml:mtd>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:msub>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mi>xx</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mspace/>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:mi>R</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mspace/>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:mi>R</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:math>
</jats:alternatives>
</jats:disp-formula>
is shown to admit positive and spatially increasing smooth solutions on all of
<jats:inline-formula>
<jats:alternatives>
<jats:tex-math>$$\mathbb {R}\times \mathbb {R}$$</jats:tex-math>
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mi>R</mml:mi>
<mml:mo>×</mml:mo>
<mml:mi>R</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
</jats:alternatives>
</jats:inline-formula>
which are precisely of the form of an accelerating wave for
<jats:inline-formula>
<jats:alternatives>
<jats:tex-math>$$t<0$$</jats:tex-math>
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo><</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
</jats:alternatives>
</jats:inline-formula>
, and of a wave slowing down for
<jats:inline-formula>
<jats:alternatives>
<jats:tex-math>$$t>0$$</jats:tex-math>
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
</jats:alternatives>
</jats:inline-formula>
. These solutions satisfy
<jats:inline-formula>
<jats:alternatives>
<jats:tex-math>$$u(\cdot ,t)\rightarrow 0$$</jats:tex-math>
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mo>·</mml:mo>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
<mml:mo>→</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
</jats:alternatives>
</jats:inline-formula>
in
<jats:inline-formula>
<jats:alternatives>
<jats:tex-math>$$L^\infty _{loc}(\mathbb {R})$$</jats:tex-math>
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mi>L</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mi>loc</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>R</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math>
</jats:alternatives>
</jats:inline-formula>
as
<jats:inline-formula>
<jats:alternatives>
<jats:tex-math>$$t\rightarrow + \infty $$</jats:tex-math>
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>→</mml:mo>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
</jats:alternatives>
</jats:inline-formula>
and as
<jats:inline-formula>
<jats:alternatives>
<jats:tex-math>$$t\rightarrow -\infty $$</jats:tex-math>
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>→</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
</jats:alternatives>
</jats:inline-formula>
, and exhibit a yet apparently undiscovered phenomenon of transient rapid spatial growth, in the sense that
<jats:disp-formula>
<jats:alternatives>
<jats:tex-math>$$\begin{aligned} \lim _{x\rightarrow +\infty } x^{-1} u(x,t) \quad \text{ exists } \text{ for } \text{ all } t<0, \end{aligned}$$</jats:tex-math>
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mtable>
<mml:mtr>
<mml:mtd>
<mml:mrow>
<mml:munder>
<mml:mo>lim</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>→</mml:mo>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:munder>
<mml:msup>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mspace/>
<mml:mspace/>
<mml:mtext>exists</mml:mtext>
<mml:mspace/>
<mml:mspace/>
<mml:mtext>for</mml:mtext>
<mml:mspace/>
<mml:mspace/>
<mml:mtext>all</mml:mtext>
<mml:mspace/>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo><</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:math>
</jats:alternatives>
</jats:disp-formula>
that
<jats:disp-formula>
<jats:alternatives>
<jats:tex-math>$$\begin{aligned} \lim _{x\rightarrow +\infty } x^{-\frac{2}{p}} u(x,t) \quad \text{ exists } \text{ for } \text{ all } t>0, \end{aligned}$$</jats:tex-math>
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mtable>
<mml:mtr>
<mml:mtd>
<mml:mrow>
<mml:munder>
<mml:mo>lim</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>→</mml:mo>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:munder>
<mml:msup>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mspace/>
<mml:mspace/>
<mml:mtext>exists</mml:mtext>
<mml:mspace/>
<mml:mspace/>
<mml:mtext>for</mml:mtext>
<mml:mspace/>
<mml:mspace/>
<mml:mtext>all</mml:mtext>
<mml:mspace/>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:math>
</jats:alternatives>
</jats:disp-formula>
but that
<jats:disp-formula>
<jats:alternatives>
<jats:tex-math>$$\begin{aligned} u(x,0)=K e^{\alpha x} \qquad \text{ for } \text{ all } x\in \mathbb {R}\end{aligned}$$</jats:tex-math>
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mtable>
<mml:mtr>
<mml:mtd>
<mml:mrow>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mi>K</mml:mi>
<mml:msup>
<mml:mi>e</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mi>α</mml:mi>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mspace/>
<mml:mspace/>
<mml:mtext>for</mml:mtext>
<mml:mspace/>
<mml:mspace/>
<mml:mtext>all</mml:mtext>
<mml:mspace/>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:mi>R</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:math>
</jats:alternatives>
</jats:disp-formula>
with some
<jats:inline-formula>
<jats:alternatives>
<jats:tex-math>$$K>0$$</jats:tex-math>
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mi>K</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
</jats:alternatives>
</jats:inline-formula>
and
<jats:inline-formula>
<jats:alternatives>
<jats:tex-math>$$\alpha >0$$</jats:tex-math>
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mi>α</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
</jats:alternatives>
</jats:inline-formula>
.
</jats:p>
Publishing Year
Journal Title
Journal of Elliptic and Parabolic Equations
Volume
11
Issue
3
Page
2041-2063
LibreCat-ID
Cite this
Hanfland C, Winkler M. Exactly wave-type homoclinic orbits and emergence of transient exponential growth in a super-fast diffusion equation. Journal of Elliptic and Parabolic Equations. 2025;11(3):2041-2063. doi:10.1007/s41808-025-00316-9
Hanfland, C., & Winkler, M. (2025). Exactly wave-type homoclinic orbits and emergence of transient exponential growth in a super-fast diffusion equation. Journal of Elliptic and Parabolic Equations, 11(3), 2041–2063. https://doi.org/10.1007/s41808-025-00316-9
@article{Hanfland_Winkler_2025, title={Exactly wave-type homoclinic orbits and emergence of transient exponential growth in a super-fast diffusion equation}, volume={11}, DOI={10.1007/s41808-025-00316-9}, number={3}, journal={Journal of Elliptic and Parabolic Equations}, publisher={Springer Science and Business Media LLC}, author={Hanfland, Celina and Winkler, Michael}, year={2025}, pages={2041–2063} }
Hanfland, Celina, and Michael Winkler. “Exactly Wave-Type Homoclinic Orbits and Emergence of Transient Exponential Growth in a Super-Fast Diffusion Equation.” Journal of Elliptic and Parabolic Equations 11, no. 3 (2025): 2041–63. https://doi.org/10.1007/s41808-025-00316-9.
C. Hanfland and M. Winkler, “Exactly wave-type homoclinic orbits and emergence of transient exponential growth in a super-fast diffusion equation,” Journal of Elliptic and Parabolic Equations, vol. 11, no. 3, pp. 2041–2063, 2025, doi: 10.1007/s41808-025-00316-9.
Hanfland, Celina, and Michael Winkler. “Exactly Wave-Type Homoclinic Orbits and Emergence of Transient Exponential Growth in a Super-Fast Diffusion Equation.” Journal of Elliptic and Parabolic Equations, vol. 11, no. 3, Springer Science and Business Media LLC, 2025, pp. 2041–63, doi:10.1007/s41808-025-00316-9.
Google Scholar