Large-data regular solutions in a one-dimensional thermoviscoelastic evolution problem involving temperature-dependent viscosities
M. Winkler, Journal of Evolution Equations 25 (2025).
Download
No fulltext has been uploaded.
Journal Article
| Published
| English
Author
Abstract
<jats:title>Abstract</jats:title>
<jats:p>
The model
<jats:disp-formula>
<jats:alternatives>
<jats:tex-math>$$\begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l}u_{tt} = \big (\gamma (\Theta ) u_{xt}\big )_x + au_{xx} - \big (f(\Theta )\big )_x, \\[1mm] \Theta _t = \Theta _{xx} + \gamma (\Theta ) u_{xt}^2 - f(\Theta ) u_{xt}, \end{array} \right. \end{aligned}$$</jats:tex-math>
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mtable>
<mml:mtr>
<mml:mtd>
<mml:mfenced>
<mml:mrow>
<mml:mtable>
<mml:mtr>
<mml:mtd>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mi>tt</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>γ</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>Θ</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mi>xt</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mi>xx</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>f</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>Θ</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd>
<mml:mrow>
<mml:mrow/>
<mml:mrow>
<mml:mo>[</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mi>m</mml:mi>
<mml:mi>m</mml:mi>
<mml:mo>]</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi>Θ</mml:mi>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi>Θ</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mi>xx</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>γ</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>Θ</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mi>xt</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msubsup>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>f</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>Θ</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mi>xt</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:math>
</jats:alternatives>
</jats:disp-formula>
for thermoviscoelastic evolution in one-dimensional Kelvin–Voigt materials is considered. By means of an approach based on maximal Sobolev regularity theory of scalar parabolic equations, it is shown that if
<jats:inline-formula>
<jats:alternatives>
<jats:tex-math>$$\gamma _0>0$$</jats:tex-math>
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi>γ</mml:mi>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
</jats:alternatives>
</jats:inline-formula>
is fixed, then there exists
<jats:inline-formula>
<jats:alternatives>
<jats:tex-math>$$\delta =\delta (\gamma _0)>0$$</jats:tex-math>
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mi>δ</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mi>δ</mml:mi>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi>γ</mml:mi>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mo>)</mml:mo>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
</jats:alternatives>
</jats:inline-formula>
with the property that for suitably regular initial data of arbitrary size an associated initial boundary value problem posed in an open bounded interval admits a global classical solution whenever
<jats:inline-formula>
<jats:alternatives>
<jats:tex-math>$$\gamma \in C^2([0,\infty ))$$</jats:tex-math>
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mi>γ</mml:mi>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>[</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math>
</jats:alternatives>
</jats:inline-formula>
and
<jats:inline-formula>
<jats:alternatives>
<jats:tex-math>$$f\in C^2([0,\infty ))$$</jats:tex-math>
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mi>f</mml:mi>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>[</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math>
</jats:alternatives>
</jats:inline-formula>
are such that
<jats:inline-formula>
<jats:alternatives>
<jats:tex-math>$$f(0)=0$$</jats:tex-math>
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mi>f</mml:mi>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>)</mml:mo>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
</jats:alternatives>
</jats:inline-formula>
and
<jats:inline-formula>
<jats:alternatives>
<jats:tex-math>$$|f(\xi )| \le K_f \cdot (\xi +1)^\alpha $$</jats:tex-math>
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>|</mml:mo>
<mml:mi>f</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>ξ</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>|</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>≤</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi>K</mml:mi>
<mml:mi>f</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo>·</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>ξ</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>α</mml:mi>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:math>
</jats:alternatives>
</jats:inline-formula>
for all
<jats:inline-formula>
<jats:alternatives>
<jats:tex-math>$$\xi \ge 0$$</jats:tex-math>
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mi>ξ</mml:mi>
<mml:mo>≥</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
</jats:alternatives>
</jats:inline-formula>
and some
<jats:inline-formula>
<jats:alternatives>
<jats:tex-math>$$K_f>0$$</jats:tex-math>
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi>K</mml:mi>
<mml:mi>f</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
</jats:alternatives>
</jats:inline-formula>
and
<jats:inline-formula>
<jats:alternatives>
<jats:tex-math>$$\alpha <\frac{3}{2}$$</jats:tex-math>
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mi>α</mml:mi>
<mml:mo><</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mn>3</mml:mn>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:math>
</jats:alternatives>
</jats:inline-formula>
, and that
<jats:disp-formula>
<jats:alternatives>
<jats:tex-math>$$\begin{aligned} \gamma _0 \le \gamma (\xi ) \le \gamma _0 + \delta \qquad \hbox {for all } \xi \ge 0. \end{aligned}$$</jats:tex-math>
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mtable>
<mml:mtr>
<mml:mtd>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi>γ</mml:mi>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mo>≤</mml:mo>
<mml:mi>γ</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>ξ</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>≤</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi>γ</mml:mi>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>δ</mml:mi>
<mml:mspace/>
<mml:mtext>for all</mml:mtext>
<mml:mspace/>
<mml:mi>ξ</mml:mi>
<mml:mo>≥</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:math>
</jats:alternatives>
</jats:disp-formula>
This is supplemented by a statement on global existence of certain strong solutions, particularly continuous in both components, under weaker conditions on the initial data.
</jats:p>
Publishing Year
Journal Title
Journal of Evolution Equations
Volume
25
Issue
4
Article Number
108
LibreCat-ID
Cite this
Winkler M. Large-data regular solutions in a one-dimensional thermoviscoelastic evolution problem involving temperature-dependent viscosities. Journal of Evolution Equations. 2025;25(4). doi:10.1007/s00028-025-01144-z
Winkler, M. (2025). Large-data regular solutions in a one-dimensional thermoviscoelastic evolution problem involving temperature-dependent viscosities. Journal of Evolution Equations, 25(4), Article 108. https://doi.org/10.1007/s00028-025-01144-z
@article{Winkler_2025, title={Large-data regular solutions in a one-dimensional thermoviscoelastic evolution problem involving temperature-dependent viscosities}, volume={25}, DOI={10.1007/s00028-025-01144-z}, number={4108}, journal={Journal of Evolution Equations}, publisher={Springer Science and Business Media LLC}, author={Winkler, Michael}, year={2025} }
Winkler, Michael. “Large-Data Regular Solutions in a One-Dimensional Thermoviscoelastic Evolution Problem Involving Temperature-Dependent Viscosities.” Journal of Evolution Equations 25, no. 4 (2025). https://doi.org/10.1007/s00028-025-01144-z.
M. Winkler, “Large-data regular solutions in a one-dimensional thermoviscoelastic evolution problem involving temperature-dependent viscosities,” Journal of Evolution Equations, vol. 25, no. 4, Art. no. 108, 2025, doi: 10.1007/s00028-025-01144-z.
Winkler, Michael. “Large-Data Regular Solutions in a One-Dimensional Thermoviscoelastic Evolution Problem Involving Temperature-Dependent Viscosities.” Journal of Evolution Equations, vol. 25, no. 4, 108, Springer Science and Business Media LLC, 2025, doi:10.1007/s00028-025-01144-z.
Google Scholar