Complete infinite-time mass aggregation in a quasilinear Keller–Segel system
M. Winkler, Israel Journal of Mathematics 263 (2024) 93–127.
Download
No fulltext has been uploaded.
Journal Article
| Published
| English
Author
Abstract
<jats:title>Abstract</jats:title><jats:p>Radially symmetric global unbounded solutions of the chemotaxis system <jats:disp-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\left\{ {\matrix{{{u_t} = \nabla \cdot (D(u)\nabla u) - \nabla \cdot (uS(u)\nabla v),} \hfill & {} \hfill \cr {0 = \Delta v - \mu + u,} \hfill & {\mu = {1 \over {|\Omega |}}\int_\Omega {u,} } \hfill \cr } } \right.$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>{</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mtable>
<mml:mtr>
<mml:mtd>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mo>∇</mml:mo>
<mml:mo>⋅</mml:mo>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>D</mml:mi>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
<mml:mo>∇</mml:mo>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
<mml:mo>−</mml:mo>
<mml:mo>∇</mml:mo>
<mml:mo>⋅</mml:mo>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mi>S</mml:mi>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
<mml:mo>∇</mml:mo>
<mml:mi>v</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd>
<mml:mrow/>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd>
<mml:mrow>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mi>Δ</mml:mi>
<mml:mi>v</mml:mi>
<mml:mo>−</mml:mo>
<mml:mi>μ</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd>
<mml:mrow>
<mml:mi>μ</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow>
<mml:mo>|</mml:mo>
<mml:mi>Ω</mml:mi>
<mml:mo>|</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mstyle>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mo>∫</mml:mo>
<mml:mi>Ω</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mstyle>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:disp-formula> are considered in a ball Ω = <jats:italic>B</jats:italic><jats:sub><jats:italic>R</jats:italic></jats:sub>(0) ⊂ ℝ<jats:sup><jats:italic>n</jats:italic></jats:sup>, where <jats:italic>n</jats:italic> ≥ 3 and <jats:italic>R</jats:italic> > 0.</jats:p><jats:p>Under the assumption that <jats:italic>D</jats:italic> and <jats:italic>S</jats:italic> suitably generalize the prototypes given by <jats:italic>D</jats:italic>(<jats:italic>ξ</jats:italic>) = (<jats:italic>ξ</jats:italic> + <jats:italic>ι</jats:italic>)<jats:sup>m−1</jats:sup> and <jats:italic>S</jats:italic>(<jats:italic>ξ</jats:italic>) = (<jats:italic>ξ</jats:italic> + 1)<jats:sup>−λ−1</jats:sup> for all <jats:italic>ξ</jats:italic> > 0 and some <jats:italic>m</jats:italic> ∈ ℝ, λ >0 and <jats:italic>ι</jats:italic> ≥ 0 fulfilling <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$m + \lambda < 1 - {2 \over n}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mi>m</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>λ</mml:mi>
<mml:mo><</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>−</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mfrac>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>, a considerably large set of initial data <jats:italic>u</jats:italic><jats:sub>0</jats:sub> is found to enforce a complete mass aggregation in infinite time in the sense that for any such <jats:italic>u</jats:italic><jats:sub>0</jats:sub>, an associated Neumann type initial-boundary value problem admits a global classical solution (<jats:italic>u, v</jats:italic>) satisfying <jats:disp-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$${1 \over C} \cdot {(t + 1)^{{1 \over \lambda }}} \le ||u( \cdot ,t)|{|_{{L^\infty }(\Omega )}} \le C \cdot {(t + 1)^{{1 \over \lambda }}}\,\,\,{\rm{for}}\,\,{\rm{all}}\,\,t > 0$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mi>C</mml:mi>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
<mml:mo>⋅</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:msup>
<mml:mo>)</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mi>λ</mml:mi>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mrow>
<mml:mo>≤</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>|</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>|</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mo>⋅</mml:mo>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>|</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo>|</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mi>L</mml:mi>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:msup>
</mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>Ω</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo>≤</mml:mo>
<mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mo>⋅</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:msup>
<mml:mo>)</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mi>λ</mml:mi>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mrow>
<mml:mspace/>
<mml:mspace/>
<mml:mspace/>
<mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>f</mml:mi>
<mml:mi>o</mml:mi>
<mml:mi>r</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:mspace/>
<mml:mspace/>
<mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mi>l</mml:mi>
<mml:mi>l</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:mspace/>
<mml:mspace/>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:math></jats:alternatives></jats:disp-formula> as well as <jats:disp-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$||u( \cdot \,,t)|{|_{{L^1}(\Omega \backslash {B_{{r_0}}}(0))}} \to 0\,\,\,{\rm{as}}\,\,t \to \infty \,\,\,{\rm{for}}\,\,{\rm{all}}\,\,{r_0} \in (0,R)$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mo>|</mml:mo>
<mml:mo>|</mml:mo>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mo>⋅</mml:mo>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
<mml:mo>|</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mo>|</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mi>L</mml:mi>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>Ω</mml:mi>
<mml:mo>\</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi>B</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi>r</mml:mi>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>)</mml:mo>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>→</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mtext>as</mml:mtext>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>→</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
<mml:mtext>for all</mml:mtext>
<mml:msub>
<mml:mi>r</mml:mi>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>R</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:math></jats:alternatives></jats:disp-formula> with some <jats:italic>C</jats:italic> > 0.</jats:p>
Publishing Year
Journal Title
Israel Journal of Mathematics
Volume
263
Issue
1
Page
93-127
LibreCat-ID
Cite this
Winkler M. Complete infinite-time mass aggregation in a quasilinear Keller–Segel system. Israel Journal of Mathematics. 2024;263(1):93-127. doi:10.1007/s11856-024-2618-9
Winkler, M. (2024). Complete infinite-time mass aggregation in a quasilinear Keller–Segel system. Israel Journal of Mathematics, 263(1), 93–127. https://doi.org/10.1007/s11856-024-2618-9
@article{Winkler_2024, title={Complete infinite-time mass aggregation in a quasilinear Keller–Segel system}, volume={263}, DOI={10.1007/s11856-024-2618-9}, number={1}, journal={Israel Journal of Mathematics}, publisher={Springer Science and Business Media LLC}, author={Winkler, Michael}, year={2024}, pages={93–127} }
Winkler, Michael. “Complete Infinite-Time Mass Aggregation in a Quasilinear Keller–Segel System.” Israel Journal of Mathematics 263, no. 1 (2024): 93–127. https://doi.org/10.1007/s11856-024-2618-9.
M. Winkler, “Complete infinite-time mass aggregation in a quasilinear Keller–Segel system,” Israel Journal of Mathematics, vol. 263, no. 1, pp. 93–127, 2024, doi: 10.1007/s11856-024-2618-9.
Winkler, Michael. “Complete Infinite-Time Mass Aggregation in a Quasilinear Keller–Segel System.” Israel Journal of Mathematics, vol. 263, no. 1, Springer Science and Business Media LLC, 2024, pp. 93–127, doi:10.1007/s11856-024-2618-9.
Google Scholar