Oscillatory decay in a degenerate parabolic equation
M. Winkler, Partial Differential Equations and Applications 3 (2022).
Download
No fulltext has been uploaded.
Journal Article
| Published
| English
Author
Abstract
<jats:title>Abstract</jats:title><jats:p>The Cauchy problem in <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\mathbb {R}^n$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>R</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>, <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$n\ge 1$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>≥</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>, for the degenerate parabolic equation <jats:disp-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\begin{aligned} u_t=u^p \Delta u \qquad \qquad (\star ) \end{aligned}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mtable>
<mml:mtr>
<mml:mtd>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mi>Δ</mml:mi>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mspace/>
<mml:mspace/>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mo>⋆</mml:mo>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:disp-formula>is considered for <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$p\ge 1$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
<mml:mo>≥</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>. It is shown that given any positive <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$f\in C^0([0,\infty ))$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mi>f</mml:mi>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>[</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> and <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$g\in C^0([0,\infty ))$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mi>g</mml:mi>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>[</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> satisfying <jats:disp-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\begin{aligned} f(t)\rightarrow + \infty \quad \text{ and } \quad g(t)\rightarrow 0 \qquad \text{ as } t\rightarrow \infty , \end{aligned}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mtable>
<mml:mtr>
<mml:mtd>
<mml:mrow>
<mml:mi>f</mml:mi>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
<mml:mo>→</mml:mo>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
<mml:mspace/>
<mml:mspace/>
<mml:mtext>and</mml:mtext>
<mml:mspace/>
<mml:mspace/>
<mml:mi>g</mml:mi>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
<mml:mo>→</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mspace/>
<mml:mspace/>
<mml:mtext>as</mml:mtext>
<mml:mspace/>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>→</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:disp-formula>one can find positive and radially symmetric continuous initial data with the property that the initial value problem for (<jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\star $$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mo>⋆</mml:mo>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>) admits a positive classical solution such that <jats:disp-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\begin{aligned} t^\frac{1}{p} \Vert u(\cdot ,t)\Vert _{L^\infty (\mathbb {R}^n)} \rightarrow \infty \qquad \text{ and } \qquad \Vert u(\cdot ,t)\Vert _{L^\infty (\mathbb {R}^n)} \rightarrow 0 \qquad \text{ as } t\rightarrow \infty , \end{aligned}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mtable>
<mml:mtr>
<mml:mtd>
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mfrac>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mfrac>
</mml:msup>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo>‖</mml:mo>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mo>·</mml:mo>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>‖</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mi>L</mml:mi>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>R</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>→</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
<mml:mspace/>
<mml:mspace/>
<mml:mtext>and</mml:mtext>
<mml:mspace/>
<mml:mspace/>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo>‖</mml:mo>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mo>·</mml:mo>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>‖</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mi>L</mml:mi>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>R</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>→</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mspace/>
<mml:mspace/>
<mml:mtext>as</mml:mtext>
<mml:mspace/>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>→</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:disp-formula>but that <jats:disp-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\begin{aligned} \liminf _{t\rightarrow \infty } \frac{t^\frac{1}{p} \Vert u(\cdot ,t)\Vert _{L^\infty (\mathbb {R}^n)}}{f(t)} =0 \end{aligned}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mtable>
<mml:mtr>
<mml:mtd>
<mml:mrow>
<mml:munder>
<mml:mo>lim inf</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>→</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:munder>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mfrac>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mfrac>
</mml:msup>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo>‖</mml:mo>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mo>·</mml:mo>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>‖</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mi>L</mml:mi>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>R</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>f</mml:mi>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:disp-formula>and <jats:disp-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\begin{aligned} \limsup _{t\rightarrow \infty } \frac{\Vert u(\cdot ,t)\Vert _{L^\infty (\mathbb {R}^n)}}{g(t)} =\infty . \end{aligned}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mtable>
<mml:mtr>
<mml:mtd>
<mml:mrow>
<mml:munder>
<mml:mo>lim sup</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>→</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:munder>
<mml:mfrac>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo>‖</mml:mo>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mo>·</mml:mo>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>‖</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mi>L</mml:mi>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>R</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>g</mml:mi>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:disp-formula></jats:p>
Publishing Year
Journal Title
Partial Differential Equations and Applications
Volume
3
Issue
4
Article Number
47
LibreCat-ID
Cite this
Winkler M. Oscillatory decay in a degenerate parabolic equation. Partial Differential Equations and Applications. 2022;3(4). doi:10.1007/s42985-022-00186-z
Winkler, M. (2022). Oscillatory decay in a degenerate parabolic equation. Partial Differential Equations and Applications, 3(4), Article 47. https://doi.org/10.1007/s42985-022-00186-z
@article{Winkler_2022, title={Oscillatory decay in a degenerate parabolic equation}, volume={3}, DOI={10.1007/s42985-022-00186-z}, number={447}, journal={Partial Differential Equations and Applications}, publisher={Springer Science and Business Media LLC}, author={Winkler, Michael}, year={2022} }
Winkler, Michael. “Oscillatory Decay in a Degenerate Parabolic Equation.” Partial Differential Equations and Applications 3, no. 4 (2022). https://doi.org/10.1007/s42985-022-00186-z.
M. Winkler, “Oscillatory decay in a degenerate parabolic equation,” Partial Differential Equations and Applications, vol. 3, no. 4, Art. no. 47, 2022, doi: 10.1007/s42985-022-00186-z.
Winkler, Michael. “Oscillatory Decay in a Degenerate Parabolic Equation.” Partial Differential Equations and Applications, vol. 3, no. 4, 47, Springer Science and Business Media LLC, 2022, doi:10.1007/s42985-022-00186-z.
Google Scholar