Finite-time blow-up in a degenerate chemotaxis system with flux limitation
N. Bellomo, M. Winkler, Transactions of the American Mathematical Society, Series B 4 (2017) 31–67.
Download
No fulltext has been uploaded.
DOI
Journal Article
| Published
| English
Author
Bellomo, Nicola;
Winkler, MichaelLibreCat
Abstract
<p>This paper is concerned with radially symmetric solutions of the parabolic-elliptic version of the Keller-Segel system with flux limitation, as given by <disp-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartLayout 1st Row with Label left-parenthesis reverse-solidus star right-parenthesis EndLabel StartLayout Enlarged left-brace 1st Row u Subscript t Baseline equals nabla dot left-parenthesis StartFraction u nabla u Over StartRoot u squared plus StartAbsoluteValue nabla u EndAbsoluteValue squared EndRoot EndFraction right-parenthesis minus chi nabla dot left-parenthesis StartFraction u nabla v Over StartRoot 1 plus StartAbsoluteValue nabla v EndAbsoluteValue squared EndRoot EndFraction right-parenthesis comma 2nd Row 0 equals normal upper Delta v minus mu plus u comma EndLayout EndLayout">
<mml:semantics>
<mml:mtable side="left" displaystyle="false">
<mml:mlabeledtr>
<mml:mtd>
<mml:mtext>(\star)</mml:mtext>
</mml:mtd>
<mml:mtd>
<mml:mrow>
<mml:mo>{</mml:mo>
<mml:mtable columnalign="left left" rowspacing="0.5em 0.2em" columnspacing="1em" displaystyle="false">
<mml:mtr>
<mml:mtd>
<mml:msub>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">∇<!-- ∇ --></mml:mi>
<mml:mo>⋅<!-- ⋅ --></mml:mo>
<mml:mstyle scriptlevel="0">
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mo maxsize="1.623em" minsize="1.623em">(</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mstyle>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">∇<!-- ∇ --></mml:mi>
<mml:mi>u</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:msqrt>
<mml:msup>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mo stretchy="false">|</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">∇<!-- ∇ --></mml:mi>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:msup>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mo stretchy="false">|</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:msqrt>
</mml:mfrac>
<mml:mstyle scriptlevel="0">
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mo maxsize="1.623em" minsize="1.623em">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mstyle>
<mml:mo>−<!-- − --></mml:mo>
<mml:mi>χ<!-- χ --></mml:mi>
<mml:mspace width="thinmathspace" />
<mml:mi mathvariant="normal">∇<!-- ∇ --></mml:mi>
<mml:mo>⋅<!-- ⋅ --></mml:mo>
<mml:mstyle scriptlevel="0">
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mo maxsize="1.623em" minsize="1.623em">(</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mstyle>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">∇<!-- ∇ --></mml:mi>
<mml:mi>v</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:msqrt>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mo stretchy="false">|</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">∇<!-- ∇ --></mml:mi>
<mml:mi>v</mml:mi>
<mml:msup>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mo stretchy="false">|</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:msqrt>
</mml:mfrac>
<mml:mstyle scriptlevel="0">
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mo maxsize="1.623em" minsize="1.623em">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mstyle>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">Δ<!-- Δ --></mml:mi>
<mml:mi>v</mml:mi>
<mml:mo>−<!-- − --></mml:mo>
<mml:mi>μ<!-- μ --></mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
<mml:mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true" />
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mlabeledtr>
</mml:mtable>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin{equation}\tag {\star } \begin {cases} u_t=\nabla \cdot \Big (\frac {u\nabla u}{\sqrt {u^2+|\nabla u|^2}}\Big ) - \chi \, \nabla \cdot \Big (\frac {u\nabla v}{\sqrt {1+|\nabla v|^2}}\Big ), \\[3pt] 0=\Delta v - \mu + u, \end{cases} \end{equation}</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</disp-formula>
under the initial condition <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="u vertical-bar Subscript t equals 0 Baseline equals u 0 greater-than 0">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mo stretchy="false">|</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">u|_{t=0}=u_0>0</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> and no-flux boundary conditions in a ball <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Omega subset-of double-struck upper R Superscript n">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">Ω<!-- Ω --></mml:mi>
<mml:mo>⊂<!-- ⊂ --></mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">\Omega \subset \mathbb {R}^n</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>, where <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="chi greater-than 0">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:mi>χ<!-- χ --></mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">\chi >0</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="mu colon equals StartFraction 1 Over StartAbsoluteValue normal upper Omega EndAbsoluteValue EndFraction integral Underscript normal upper Omega Endscripts u 0">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:mi>μ<!-- μ --></mml:mi>
<mml:mo>:=</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mo stretchy="false">|</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">Ω<!-- Ω --></mml:mi>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mo stretchy="false">|</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msub>
<mml:mo>∫<!-- ∫ --></mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">Ω<!-- Ω --></mml:mi>
</mml:msub>
<mml:msub>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">\mu :=\frac {1}{|\Omega |} \int _\Omega u_0</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>. A previous result of the authors [Comm. Partial Differential Equations 42 (2017), 436–473] has asserted global existence of bounded classical solutions for arbitrary positive radial initial data <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="u 0 element-of upper C cubed left-parenthesis normal upper Omega overbar right-parenthesis">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mover>
<mml:mi mathvariant="normal">Ω<!-- Ω --></mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">¯<!-- ¯ --></mml:mo>
</mml:mover>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">u_0\in C^3(\bar \Omega )</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> when either <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n greater-than-or-equal-to 2">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>≥<!-- ≥ --></mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">n\ge 2</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="chi greater-than 1">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:mi>χ<!-- χ --></mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">\chi >1</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>, or <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n equals 1">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">n=1</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="integral Underscript normal upper Omega Endscripts u 0 greater-than StartFraction 1 Over StartRoot left-parenthesis chi squared minus 1 right-parenthesis Subscript plus Baseline EndRoot EndFraction">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mo>∫<!-- ∫ --></mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">Ω<!-- Ω --></mml:mi>
</mml:msub>
<mml:msub>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi>χ<!-- χ --></mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>−<!-- − --></mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>+</mml:mo>
</mml:msub>
</mml:msqrt>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">\int _\Omega u_0>\frac {1}{\sqrt {(\chi ^2-1)_+}}</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
<p>This present paper shows that these conditions are essentially optimal: Indeed, it is shown that if the taxis coefficient satisfies <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="chi greater-than 1">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:mi>χ<!-- χ --></mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">\chi >1</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>, then for any choice of <disp-formula content-type="math/mathml">
\[
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartLayout Enlarged left-brace 1st Row 1st Column m greater-than StartFraction 1 Over StartRoot chi squared minus 1 EndRoot EndFraction 2nd Column a m p semicolon if n equals 1 comma 2nd Row 1st Column m greater-than 0 is arbitrary 2nd Column a m p semicolon if n greater-than-or-equal-to 2 comma EndLayout">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:mo>{</mml:mo>
<mml:mtable columnalign="left left" rowspacing=".2em" columnspacing="1em" displaystyle="false">
<mml:mtr>
<mml:mtd>
<mml:mi>m</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:msup>
<mml:mi>χ<!-- χ --></mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>−<!-- − --></mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:msqrt>
</mml:mfrac>
</mml:mtd>
<mml:mtd>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mi>m</mml:mi>
<mml:mi>p</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mtext>if </mml:mtext>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd>
<mml:mrow>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi>m</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mtext> is arbitrary</mml:mtext>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mi>m</mml:mi>
<mml:mi>p</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mtext>if </mml:mtext>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>≥<!-- ≥ --></mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
<mml:mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true" />
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin {cases} m>\frac {1}{\sqrt {\chi ^2-1}} & \text {if $n=1$}, \\ \text {$m>0$ is arbitrary} & \text {if $n\ge 2$}, \end {cases}</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
\]
</disp-formula> there exist positive initial data <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="u 0 element-of upper C cubed left-parenthesis normal upper Omega overbar right-parenthesis">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mover>
<mml:mi mathvariant="normal">Ω<!-- Ω --></mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">¯<!-- ¯ --></mml:mo>
</mml:mover>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">u_0\in C^3(\bar \Omega )</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> satisfying <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="integral Underscript normal upper Omega Endscripts u 0 equals m">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mo>∫<!-- ∫ --></mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">Ω<!-- Ω --></mml:mi>
</mml:msub>
<mml:msub>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mi>m</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">\int _\Omega u_0=m</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> which are such that for some <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T greater-than 0">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:mi>T</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">T>0</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>, (<inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="star">
<mml:semantics>
<mml:mo>⋆<!-- ⋆ --></mml:mo>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">\star</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>) possesses a uniquely determined classical solution <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis u comma v right-parenthesis">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>v</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">(u,v)</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> in <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Omega times left-parenthesis 0 comma upper T right-parenthesis">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">Ω<!-- Ω --></mml:mi>
<mml:mo>×<!-- × --></mml:mo>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>T</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">\Omega \times (0,T)</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> blowing up at time <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T">
<mml:semantics>
<mml:mi>T</mml:mi>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">T</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> in the sense that <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="limit sup double-vertical-bar u left-parenthesis dot comma t right-parenthesis double-vertical-bar Subscript upper L Sub Superscript normal infinity Subscript left-parenthesis normal upper Omega right-parenthesis Baseline equals normal infinity">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:munder>
<mml:mo movablelimits="true" form="prefix">lim sup</mml:mo>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">↗<!-- ↗ --></mml:mo>
<mml:mi>T</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:munder>
<mml:mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mml:mo>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>⋅<!-- ⋅ --></mml:mo>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mo fence="false" stretchy="false">‖<!-- ‖ --></mml:mo>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:msup>
<mml:mi>L</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">Ω<!-- Ω --></mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">\limsup _{t\nearrow T} \|u(\cdot ,t)\|_{L^\infty (\Omega )}=\infty</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
<p>This result is derived by means of a comparison argument applied to the doubly degenerate scalar parabolic equation satisfied by the mass accumulation function associated with (<inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="star">
<mml:semantics>
<mml:mo>⋆<!-- ⋆ --></mml:mo>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">\star</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>).</p>
Publishing Year
Journal Title
Transactions of the American Mathematical Society, Series B
Volume
4
Issue
2
Page
31-67
ISSN
LibreCat-ID
Cite this
Bellomo N, Winkler M. Finite-time blow-up in a degenerate chemotaxis system with flux limitation. Transactions of the American Mathematical Society, Series B. 2017;4(2):31-67. doi:10.1090/btran/17
Bellomo, N., & Winkler, M. (2017). Finite-time blow-up in a degenerate chemotaxis system with flux limitation. Transactions of the American Mathematical Society, Series B, 4(2), 31–67. https://doi.org/10.1090/btran/17
@article{Bellomo_Winkler_2017, title={Finite-time blow-up in a degenerate chemotaxis system with flux limitation}, volume={4}, DOI={10.1090/btran/17}, number={2}, journal={Transactions of the American Mathematical Society, Series B}, publisher={American Mathematical Society (AMS)}, author={Bellomo, Nicola and Winkler, Michael}, year={2017}, pages={31–67} }
Bellomo, Nicola, and Michael Winkler. “Finite-Time Blow-up in a Degenerate Chemotaxis System with Flux Limitation.” Transactions of the American Mathematical Society, Series B 4, no. 2 (2017): 31–67. https://doi.org/10.1090/btran/17.
N. Bellomo and M. Winkler, “Finite-time blow-up in a degenerate chemotaxis system with flux limitation,” Transactions of the American Mathematical Society, Series B, vol. 4, no. 2, pp. 31–67, 2017, doi: 10.1090/btran/17.
Bellomo, Nicola, and Michael Winkler. “Finite-Time Blow-up in a Degenerate Chemotaxis System with Flux Limitation.” Transactions of the American Mathematical Society, Series B, vol. 4, no. 2, American Mathematical Society (AMS), 2017, pp. 31–67, doi:10.1090/btran/17.
Google Scholar